Сколько решений в целых числах имееет уравнение $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=x^3+y^3+z^3+s,$$ если а)$%s=0$%, б) $%s=1$%

задан 12 Янв 12:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Положим $%z=0$% и выразим всё остальное через $%p=x+y$% и $%q=xy$%. Получится $%x^2+y^2=p^2-2q$%; $%x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=p(p^2-3q)$%, и при $%s=0$% равенство примет вид $%p^2-3q=p(p^2-3q)$%. При $%p=1$% оно всегда имеет место, что даёт бесконечно много решений вида $%(k+1,-k,0)$%, где $%k$% любое целое.

б) Здесь множество решений пусто. Действительно, по модулю 3 имеет место "детское биномиальное тождество" $%(a+b)^3=a^3+b^3$%, из которого вытекает тождество для трёх переменных: $%(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3$% по модулю 3. Далее, левая часть равенства из условия по модулю 3 равна $%(x+y+z)^2$%. Тогда $%s$% сравнимо с $%u^2-u^3$%, где $%u=x+y+z$%, а такое выражение по модулю 3 даёт лишь два значения: 0 и 2.

ссылка

отвечен 12 Янв 13:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×111

задан
12 Янв 12:52

показан
54 раза

обновлен
12 Янв 13:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru