Пусть a, b, c>0 и a+b+c=abc Доказать 1/(1+ab)+1/(1+bc)+1/(1+ac)<=3/4

задан 12 Янв 22:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Запишем левую часть как $%\frac{c}{c+S}+\frac{a}{a+S}+\frac{b}{b+S}$%, где $%S=abc=a+b+c$%. Она равна $%3-S(\frac1{a+S}+\frac1{b+S}+\frac1{c+S})$%. Воспользуемся известным неравенством $%\frac{u_1^2}{v_1}+\frac{u_2^2}{v_2}+\frac{u_3^2}{v_3}\ge\frac{(u_1+u_2+u_3)^2}{v_1+v_2+v_3}$% для положительных чисел, которое следует из неравенства Коши - Буняковского. Это даст $%\frac1{a+S}+\frac1{b+S}+\frac1{c+S}\ge\frac{(1+1+1)^2}{a+S+b+S+c+S}=\frac9{4S}$%. Отсюда следует, что левая часть неравенства не больше $%3-S\cdot\frac9{4S}=\frac34$%.

ссылка

отвечен 12 Янв 22:58

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\dfrac{1}{ab}=x\ ,\ \dfrac{1}{bc}= y\ ,\ \dfrac{1}{ca}=z\ \ \ \ (x+y+z=1)$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{1+x}+\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{z}{1+z} \le \dfrac{9}{16}(x+y+z)+\dfrac{3}{16}=\dfrac{3}{4}$$

$$\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+x}\le \dfrac{1}{16}\left(3+3+3+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{9}{16}+\dfrac{1}{16x}$$

ссылка

отвечен 13 Янв 0:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×235

задан
12 Янв 22:29

показан
93 раза

обновлен
13 Янв 0:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru