Сумма положительных чисел от х1 до xn равна 1 Доказать (1-x1)(1-x2)...(1-xn)/x1x2...*xn>=(n-1)^n

задан 12 Янв 22:34

1

Достаточно перемножить неравенства $$1-x_k=(x_1+...+x_n)-x_k\ge(n-1)\sqrt[n-1]{\frac{x_1\cdot...\cdot x_n}{x_k}}$$

(13 Янв 2:15) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$x_i >0\ , x_1+x_2+\ ... +\ x_n=1$$

$$\dfrac{(1-x_1)(1-x_2)\ ...\ (1-x_n)}{x_1x_2 \ ...\ x_n}\ge (n-1)^n$$

Пусть $%x_i < x_j$%. Тогда заменим их : $%t=\dfrac{x_i+x_j}{2}$%. От этого левая часть не увеличится :

$$\dfrac{(1-x_i)(1-x_j)}{x_ix_j} \ge \dfrac{(1-t)^2}{t^2}\Leftrightarrow \dfrac{(x_j-x_i)^2(1-x_i-x_j)}{x_ix_j(x_i+x_j)^2}\ge0$$

Поэтому достаточно проверить неравенство для случая : $%x_1=x_2=\ ... \ =x_n=\dfrac{1}{n}$%

ссылка

отвечен 13 Янв 1:03

Как произошел переход от предпоследней строчки к последней? Что нам дает то, что левая часть больше 0?

(13 Янв 1:42) SuperMathema...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×363

задан
12 Янв 22:34

показан
115 раз

обновлен
13 Янв 2:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru