Рассматривается сечение куба плоскостями, перпендикулярными одной из его главных диагоналей. Определите наибольшую возможную площадь сечения, если ребро куба равно 1?

задан 18 Мар '13 22:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим куб $%[-1,1]^3$% с ребром $%2$%. Решим задачу для него, а в конце разделим на $%4$% то, что получится.

Точка $%(x,y,z)$% принадлежит этому кубу при $%|x|,|y|,|z|\le1$%. Плоскость мы проведём перпендикулярно большой диагонали, соединяющей точки $%(1,1,1)$% и $%(-1,-1,-1)$%. Она имеет уравнение $%x+y+z=d$%, где $%|d|\le3$%. Сечение куба обозначим через $%\Phi$%. Мы хотим найти его проекцию на плоскость $%Oxy$%. При этом получится какая-то фигура $%\Phi'$%.

Заметим, что площадь фигуры $%\Phi$% больше площади фигуры $%\Phi'$% в $%\sqrt{3}$% раз. В курсе аналитической геометрии выводится общая формула, но в школе её не изучают, поэтому имеет смысл дать обоснование. Достаточно рассмотреть случай, когда проекция на плоскость $%Oxy$% будет квадратом, построенным на векторах $%(1,0)$% и $%(0,1)$%. На плоскости $%x+y+z=0$% (можно брать такое уравнение, так как это параллельная плоскость) им соответствуют векторы $%(1,0,-1)$%, $%(0,1,-1)$% и построенный на них параллелограмм. Скалярное произведение векторов равно $%1$%, а длины равны $%\sqrt{2}$%. Тогда косинус угла между векторами равен $%1/2$%, и угол составляет $%60$% градусов. Синус угла, тем самым, равен $%\sqrt{3}/2$%, и площадь параллелограмма равна произведению длин на этот синус, то есть $%\sqrt{3}$%.

Теперь опишем фигуру $%\Phi'$%. В её пределах фигуры $%\Phi$% выполнено равенство $%z=d-x-y$%, и эта величина лежит в пределах от $%-1$% до $%1$%. Значит, $%d-1\le x+y\le d+1$%. Поэтому проецией на плоскость $%Oxy$% будет пересечение квадрата $%[-1,1]^2$% с полосой между двумя прямыми: $%y=d-1-x$% и $%y=d+1-x$%.

Этот рисунок легко изобразить (намного проще, чем строить сечение), и при $%d=0$% сразу ясно, что площадь шестиугольника $%\Phi'$% равна $%3$% (всё, что не входит в $%\Phi$%, состоит из двух треугольников, образующих при соединении квадрат со стороной $%1$%). Ясно также, что если полосу начать сдвигать (из соображений симметрии достаточно сдвигать только вверх), то площадь фигуры $%\Phi'$% начнёт уменьшаться. Чтобы увидеть это, достаточно нарисовать близкие линии и сравнить площади трапеций, которые "приходят" и "уходят" в результате сдвига.

Таким образом, максимальная площадь проекции равна $%3$%, и максимальная площадь сечения равна $%3\sqrt{3}$%. Всё это для куба со стороной $%2$%, а для куба со стороной $%1$% получается $%3\sqrt{3}/4$%, то есть примерно $%1,3$%.

Ответ: $%3\sqrt{3}/4$%.

ссылка

отвечен 18 Мар '13 23:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Не трудно доказать, что $% BK\perp (FAD),BK\perp (EGH),$% Сечения которые пересекают пирамиды $%BADF$% и $%KHJE$% подобны треугольникам $%FAD$% и $%EGH$%, и имеут меньшую площадь. Остается рассмотреть те сечения которые находятся между плоскостямы $%FAD$% и $%EGH.$% Они шестиугольники, стороны которых параллельны сторонам треугольника $%FAD$%. В рисунке красным цветом изображен один из них $%PNMLRQ,$% который проходить через точку $%P,$% обозначим $%FP=x,$% не трудно заметить,что $%PH=HN=ME=LE=1-x,AN=AM=FP=x, VK=\sqrt2/2,VE=\sqrt{3/2}.$% Согласно формуле ортогональной проекции многоугольника на плоскость $%S_{PNMLRQ}=\frac{S_{PHSOJQ}}{cos\angle EVK}=(1-0,5x^2-0,5(1-x)^2)\sqrt3=\frac{\sqrt3}2(1+2x-2x^2).$% Последняя квадратичная функция в промежутке (0;1) принимает све наибольшее значение, которое равно $%3\sqrt3/4$%, в точке $%x=0,5$%.Это значение больше $%S_{FAD}=S_{EGH}=2\sqrt3/4.$% И так наибольшее сечение проходит через середину ребра и имеет площадь $%3\sqrt3/4$%.

ссылка

отвечен 19 Мар '13 0:39

изменен 30 Мар '13 1:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×509

задан
18 Мар '13 22:51

показан
7503 раза

обновлен
30 Мар '13 1:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru