$%| | A | | = \sup_{ x\in R^n, |x| \le 1} |Ax|=\sup_{x\in R^n-0} \frac{|Ax|}{|x|}$%

Почему определения нормы оператора эквивалентны? Понятно, что $%|Ax|/|x|$% имеет модуль 1, но во втором случае супремум берется только по тем векторам, которые предствимы как $%|Ax|/|x|$%, не очень ясно почему это то же что первое.

Почему $%|Ax|\le ||A|| \cdot |x|$%?

задан 13 Янв 2:34

@wart: пусть все x ненулевые. Рассмотрим отношение |Ax|/|x|. Заменим вектор x на kx, где k не равно нулю. Числитель и знаменатель умножатся на |k|; отношение при этом не изменится. Значит, оно всегда одно и то же на любом классе пропорциональных векторов. Тогда без разницы, рассматривать ли весь этот класс, или один его представитель, или какую-то другую его часть. Поскольку каждому x пропорционален вектор x/|x| единичной длины (нормы), то равенства из первой формулы тут же становятся очевидными.

По последнему: при x=0 всё верно. При x <> 0 разделим на |x|. Тогда |Ax|/|x|<=sup(...)=||A||.

(13 Янв 3:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,624

задан
13 Янв 2:34

показан
150 раз

обновлен
13 Янв 3:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru