$$(1 - x)\ln(1 + 5x + 6x^2)$$ Как это делать для логарифма - понятно, разложить трехчлен в произведение, а потом сам логарифм на сумму логарифмов, а что делать дальше?

$$(1 - x)\ln(1 + 5x + 6x^2) = (1 - x)\ln((3x + 1)(2x + 1)) = (1-x)(\ln(3x + 1) + \ln(2x + 1))$$

задан 13 Янв 20:14

изменен 14 Янв 16:35

10|600 символов нужно символов осталось
2

Надо написать два разложения для слагаемых, а потом их сложить. Умножение на $%1-x$% -- операция простая. Коэффициент при $%x^n$% при этом находится без проблем.

$%\ln(1+t)=\cdots+(-1)^{n-1}\frac{t^n}n+\cdots$%

$%\ln(1+2x)=\cdots+(-1)^{n-1}\frac{2^nx^n}n+\cdots$%

$%\ln(1+3x)=\cdots+(-1)^{n-1}\frac{3^nx^n}n+\cdots$%

Для $%\ln(1+5x+6x^2)=\ln(1+2x)+\ln(1+3x)$% коэффициент при $%x^n$% равен $%a_n=(-1)^{n-1}\frac{2^n+3^n}n$% при $%n\ge1$%. При умножении на $%1-x$% получается ряд $%(1-x)(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots)=a_0+(a_1-a_0)x+(a_2-a_1)x^2+\cdots+(a_n-a_{n-1})x^n+\cdots$%. Значит, для функции из условия, коэффициентом при $%x^n$% будет разность $%a_n-a_{n-1}=(-1)^{n-1}\frac{2^n+3^n}n-(-1)^{n-2}\frac{2^{n-1}+3^{n-1}}{n-1}=(-1)^{n-1}\frac{2^{n-1}(3n-2)+3^{n-1}(4n-3)}{n(n-1)}$% при $%n\ge2$%. При $%n=1$% коэффициент при $%x$% равен $%5$%.

Для наглядности: $%(1-x)\ln(1+5x+6x^2)=5x-\frac{23}2x^2+\frac{109}6x^3-\frac{431}{12}x^4-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{2^{n-1}(3n-2)+3^{n-1}(4n-3)}{n(n-1)}x^n+\cdots$%.

ссылка

отвечен 13 Янв 21:08

Спасибо, теперь дошло!

(13 Янв 21:29) FrostABC
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,554
×54
×33

задан
13 Янв 20:14

показан
130 раз

обновлен
14 Янв 16:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru