математический-анализ - Представить функцию формулой Маклорена

Надо написать два разложения для слагаемых, а потом их сложить. Умножение на $%1-x$% -- операция простая. Коэффициент при $%x^n$% при этом находится без проблем.

$%\ln(1+t)=\cdots+(-1)^{n-1}\frac{t^n}n+\cdots$%

$%\ln(1+2x)=\cdots+(-1)^{n-1}\frac{2^nx^n}n+\cdots$%

$%\ln(1+3x)=\cdots+(-1)^{n-1}\frac{3^nx^n}n+\cdots$%

Для $%\ln(1+5x+6x^2)=\ln(1+2x)+\ln(1+3x)$% коэффициент при $%x^n$% равен $%a_n=(-1)^{n-1}\frac{2^n+3^n}n$% при $%n\ge1$%. При умножении на $%1-x$% получается ряд $%(1-x)(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots)=a_0+(a_1-a_0)x+(a_2-a_1)x^2+\cdots+(a_n-a_{n-1})x^n+\cdots$%. Значит, для функции из условия, коэффициентом при $%x^n$% будет разность $%a_n-a_{n-1}=(-1)^{n-1}\frac{2^n+3^n}n-(-1)^{n-2}\frac{2^{n-1}+3^{n-1}}{n-1}=(-1)^{n-1}\frac{2^{n-1}(3n-2)+3^{n-1}(4n-3)}{n(n-1)}$% при $%n\ge2$%. При $%n=1$% коэффициент при $%x$% равен $%5$%.

Для наглядности: $%(1-x)\ln(1+5x+6x^2)=5x-\frac{23}2x^2+\frac{109}6x^3-\frac{431}{12}x^4-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{2^{n-1}(3n-2)+3^{n-1}(4n-3)}{n(n-1)}x^n+\cdots$%.