Последняя стереометрия

Поскольку плоскости параллельны, то они образуют с плоскостью основания один и тот же угол, на косинус которого умножаются площади при проектировании. Поэтому можно считать, что сечения имеют одинаковые площади проекций. Обозначим через $%E$% и $%F$% точки пересечения плоскостей сечения с ребром $%SD$% (в том порядке, как они перечислены в условии). Второе сечение проектируется на треугольник $%ACD$%. Через точку $%E$% проведём прямые, параллельные $%AF$% и $%CF$% соответственно в плоскостях $%SAD$% и $%SCD$%. Пусть $%K$% и $%L$% -- точки их пересечения с $%SA$%, $%SC$% соответственно. Тогда первое сечение -- это четырёхугольник $%BKEL$%. Проекции точек $%K$%, $%L$% на плоскость основания обозначим через $%K'$%, $%L'$%. Ясно, что первое сечение проектируется на четырёхугольник $%BK'DL'$%. Прямая $%K'L'$% параллельна $%AC$%, то есть этот четырёхугольник является дельтоидом. Его диагонали перпендикулярны, как и у ромба.

Сравнивая площади проекций сечений, мы видим, что площадь дельтоида равна площади $%ACD$%, то есть половине площади ромба. Одна диагональ у них с ромбом общая, поэтому вторая должна быть меньше в два раза. Иными словами, $%K'L'$% есть средняя линия треугольника $%ACD$%. Значит, $%K'$% есть середина $%AD$%, а потому $%K$% есть середина $%SA$%.

Рассмотрим теперь треугольник $%SBD$% (плоскость симметрии пирамиды). Ему принадлежит точка $%M$% -- середина $%KL$%. Каждая из точек $%K,L,M$% расположена над плоскостью основания на одной и той же высоте, равной половине $%SD$%, то есть трём. Это значит, что $%MM'=3$%, где $%M'$% есть проекция точки $%M$% на плоскость ромба. Ясно, что $%M'$% -- это середина $%K'L'$%. Так как этот отрезок был средней линией, расстояние $%DM'$% равно половине $%DO$%, где $%O$% -- центр ромба, то есть это четверть от $%BD$%. Следовательно, $%DM'=3/4$%, и $%BM'=9/4$% ввиду $%BD=3$%.

Осталось заметить, что треугольник $%BMM'$% подобен $%BED$% с коэффициентом $%BM':BD=3/4$%. Поэтому $%ED=(4/3)MM'=4$%. Следовательно, $%SE:ED=1:2$%. Ввиду того, что $%KE$% параллельна $%AF$% и того, что $%K$% -- середина $%SA$%, точка $%E$% будет серединой $%SF$%. Это значит, что $%SE=EF=FD=2$%, и отношение $%SF:FD$% равно $%2:1$%.

Ответ: $%1:2$% и $%2:1$%.