Докажите, что спектр линейного оператора $%Ax(t) \rightarrow x(t²), t∈[0,1]$% принадлежит единичной окружности на $%\mathbb C .$%

задан 14 Янв 0:41

изменен 14 Янв 0:41

@stander: на мой взгляд, в формулировке этой задачи, чего-то немножечко не хватает :)

(14 Янв 1:51) falcao

@falcao: ой, точно, оператор из C[0;1] в С[0;1] :) И ещё не хватает волшебного слова "пожалуйста" :)

(14 Янв 3:36) stander

@stander: второе в математических задачах обычно не добавляют, а вот первое -- совершенно обязательно, потому что в противном случае операторы начинают действовать в "безвоздушном" пространстве :)

(14 Янв 3:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Видимо, здесь имелось в виду следующее. Рассмотрим уравнение $%(A-\lambda I)x(t)=x(t^2)-\lambda x(t)=g(t)$%. Попытаемся выразить $%x$% через $%g$%. При $%|\lambda| < 1$% положим $%Bg(t)=g(t^{1/2})+\lambda g(t^{1/4})+\lambda^2g(t^{1/8})+\cdots$%. Ввиду ограниченности непрерывной функции $%g(t)$%, этот ряд абсолютно сходится. Получается линейный оператор, ограниченность которого следует из равномерной непрерывности функции $%g(t)$% на отрезке. Проверяем, что $%B=(A-\lambda I)^{-1}$%. Действительно, $%(A-\lambda I)Bg(t)=g(t)-\lambda g(t^{1/2})+\lambda g(t^{1/2})-\lambda^2g(t^{1/4})+\cdots=g(t)$%.

Аналогично, при $%|\lambda| > 1$% полагаем $%Bg(t)=-\lambda^{-1}g(t)-\lambda^{-2}g(t^2)-\cdots$% с теми же обоснованиями по поводу сходимости рядов. Здесь снова получается, что $%(A-\lambda I)Bg(t)=g(t)-\lambda^{-1}g(t^2)+\lambda^{-1}g(t^2)-\lambda^{-2}g(t^2)+\cdots=g(t)$%.

Вместо слова "принадлежит" я бы предпочёл сказать "содержится в".

ссылка

отвечен 14 Янв 5:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×392

задан
14 Янв 0:41

показан
144 раза

обновлен
14 Янв 5:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru