Как найти решение этого уравнение, буду очень признателен. $$y''+5y'+6y=(2-x)e^{2x};\, y(0)=1,\, y'(0)=1$$

задан 19 Мар '13 8:39

изменен 19 Мар '13 12:34

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Поскольку показатель $%2$% экспоненты в правой части $%(2-x)e^{2x}$% уравнения не является корнем характеристического уравнения, частное решение будет иметь вид правой части, т.е. произведение многочлена первой степени на экспоненту: $$ \overline{Y}(x) = (Ax+B)e^{2x}.$$ Подставив $%\overline{Y}(x)$% в уравнение $%y''+5y'+6y=(2-x)e^{2x}$%, находим $%A$% и $%B.$%

(19 Мар '13 12:42) Mather

взял производные первого и второго порядка подставил и получил следующее уравнение $%20ax+9a+20b=2-x\, $% и в ступоре. а нет воспользовался wolframalpha он выдал следующие корни уравнения $%a=-1/20\,; b=49/400\, $% при подстановке нуля получается что $%C_1=b\,; C_2=a+2b$% верно?

(19 Мар '13 13:08) golferk

При подстановке в начальные условия получаем систему для нахождения $%C_1,\;\;C_2:$% \begin{cases}y(0)=C_1+C_2+b=1,\ y'(0)= -2C_1-3C_2+a + 2 b=1 , \end{cases}

(19 Мар '13 13:49) Mather
10|600 символов нужно символов осталось
1

Это стандартная задача. Посмотрите материал по теме "линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами". В Сети есть очень много ссылок, где аналогичные примеры разобраны. Или можно изучить соответствующую главу учебника.

ссылка

отвечен 19 Мар '13 9:36

В каком виде искать частное решение? я реально гуманитарий давно закончивший учебу, просто возникла жизненная необходимость разово сдать одну работу.

(19 Мар '13 11:06) golferk

Корни характеристического уравнения -2 и -3, поэтому общее решение однородного будет $%C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}$% плюс еще частное решение, которое можно найти в виде линейный многочлен на $%e^{2x}$%

(19 Мар '13 11:22) DocentI

Спасибо, корни нашел, решением квадратного приравняв левую часть к нулю. Как быть дальше?

(19 Мар '13 11:49) golferk

@golferk: частное решение имеет вид $%y=(ax+b)e^{2x}$% с неопределёнными коэффициентами. Если подставить функцию в уравнение, то они находятся однозначно. А в конце надо учесть начальные условия, подставляя $%0$% в функцию и в её производную. Это позволит найти $%C_1$%, $%C_2$%.

(19 Мар '13 12:32) falcao

как все сложно, а в какое уравнение подставить? предварительно необходимо взять первую и вторую производную от частного решения?

(19 Мар '13 12:37) golferk

Разумеется.

(19 Мар '13 12:55) Mather

Решение ищется в виде суммы того, что написала я и частного решения, указанного @falcao

(19 Мар '13 13:45) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,062
×913
×418

задан
19 Мар '13 8:39

показан
1234 раза

обновлен
19 Мар '13 16:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru