|
Как найти решение этого уравнение, буду очень признателен. $$y''+5y'+6y=(2-x)e^{2x};\, y(0)=1,\, y'(0)=1$$ задан 19 Мар '13 8:39 
golferk |
|
Это стандартная задача. Посмотрите материал по теме "линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами". В Сети есть очень много ссылок, где аналогичные примеры разобраны. Или можно изучить соответствующую главу учебника. отвечен 19 Мар '13 9:36 
falcao В каком виде искать частное решение? я реально гуманитарий давно закончивший учебу, просто возникла жизненная необходимость разово сдать одну работу.
(19 Мар '13 11:06)
golferk
Корни характеристического уравнения -2 и -3, поэтому общее решение однородного будет $%C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}$% плюс еще частное решение, которое можно найти в виде линейный многочлен на $%e^{2x}$%
(19 Мар '13 11:22)
DocentI
Спасибо, корни нашел, решением квадратного приравняв левую часть к нулю. Как быть дальше?
(19 Мар '13 11:49)
golferk
@golferk: частное решение имеет вид $%y=(ax+b)e^{2x}$% с неопределёнными коэффициентами. Если подставить функцию в уравнение, то они находятся однозначно. А в конце надо учесть начальные условия, подставляя $%0$% в функцию и в её производную. Это позволит найти $%C_1$%, $%C_2$%.
(19 Мар '13 12:32)
falcao
как все сложно, а в какое уравнение подставить? предварительно необходимо взять первую и вторую производную от частного решения?
(19 Мар '13 12:37)
golferk
Разумеется.
(19 Мар '13 12:55)
Mather
показано 5 из 7
показать еще 2
|
Поскольку показатель $%2$% экспоненты в правой части $%(2-x)e^{2x}$% уравнения не является корнем характеристического уравнения, частное решение будет иметь вид правой части, т.е. произведение многочлена первой степени на экспоненту: $$ \overline{Y}(x) = (Ax+B)e^{2x}.$$ Подставив $%\overline{Y}(x)$% в уравнение $%y''+5y'+6y=(2-x)e^{2x}$%, находим $%A$% и $%B.$%
взял производные первого и второго порядка подставил и получил следующее уравнение $%20ax+9a+20b=2-x\, $% и в ступоре. а нет воспользовался wolframalpha он выдал следующие корни уравнения $%a=-1/20\,; b=49/400\, $% при подстановке нуля получается что $%C_1=b\,; C_2=a+2b$% верно?
При подстановке в начальные условия получаем систему для нахождения $%C_1,\;\;C_2:$% \begin{cases}y(0)=C_1+C_2+b=1,\ y'(0)= -2C_1-3C_2+a + 2 b=1 , \end{cases}