Решить уравнение $%(|sinx|)^{cosx}=(|cosx|)^{sinx}.$%

задан 19 Мар '13 17:28

10|600 символов нужно символов осталось
2
  1. Пусть $%{0} \leqslant {x} \leqslant {\dfrac{\pi}{2}}.$% Так как на этом промежутке обе (и $%\sin$% и $%\cos$%) положительны, можно отказаться от знака модуля. Далее, $$ \left((\sin{x})^{\cos{x}}\right)'=(\sin{x})^{\cos{x}}\left(-\sin{x}\ln{\sin{x}+\dfrac{\cos^2{x}}{\sin{x}}} \right)>0, \\ \left((\cos{x})^{\sin{x}}\right)'=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}-\dfrac{\sin^2{x}}{\cos{x}}} \right)<0. $$ Кроме того, $$ \left. (\sin{x})^{\cos{x}}\right| _ {x=0} =0, \;\;\; \left.(\sin{x})^{\cos{x}}\right| _ {x={\dfrac{\pi}{2}}} =1, \\ \left. (\cos{x})^{\sin{x}}\right| _ {x=0} =1, \;\;\; \left.(\cos{x})^{\sin{x}}\right| _ {x={\dfrac{\pi}{2}}} =0. $$ Таким образом, функция $%(\sin{x})^{\cos{x}}$% монотонно возрастает от $%0$% до $%1,$% а $%(\cos{x})^{\sin{x}}$% монотонно убывает от $%1$% до $%0$% на $%\left[0,\; {\dfrac{\pi}{2}} \right],$% значит, на этом промежутке имеется единственное решение $%x={\dfrac{\pi}{4}}.$%
  2. Рассмотрим теперь промежуток $%\left[{\dfrac{\pi}{2}} ,\; {\pi} \right].$% На нем $%\cos{x}\leqslant{0},$% следовательно, $%|\sin{x}|^{\cos{x}}\geqslant{1},$% но в то же время $%|\cos{x}|^{\sin{x}}\leqslant{1},$% значит, на этом отрезке уравнение решений не имеет (так как $%\sin{x}$% и $%\cos{x}$% не могут одновременно равняться единице).
  3. На отрезке $%\left[{\pi},\; {\dfrac{3\pi}{2}}\right]$% аналогично первому случаю получаем решение уравнения $%x={\dfrac{5\pi}{4}}.$%
  4. Так же, как и в п.2, можно сделать вывод, что решений нет и на $%\left[{\dfrac{3\pi}{2}} ,\; {2\pi} \right].$%

Ответ. Множеством решений уравнения является множество $%\left \lbrace {\dfrac{\pi}{4}}+n\pi, \quad n\in\mathbb{Z} \right \rbrace.$%

Кажется так, если нигде не ошибся.

ссылка

отвечен 19 Мар '13 21:26

изменен 19 Мар '13 23:11

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Да, не обратил внимания на точки, в которых возникает неопределенность $%0^{-1}$%

(19 Мар '13 21:42) Mather

Во втором неравенстве с производной нужно сменить знак перед последним слагаемым.

(19 Мар '13 22:18) falcao

@falcao Спасибо, исправил

(19 Мар '13 22:31) Mather

@Mather: Вы не знаете, в чём была причина того, что редактор искажал формулы? Сейчас всё видно как следует. Я знаю, что он неверно отображает текст со "звёздочками", но у Вас их вроде как не было. Полезно было бы знать, каких ещё символов желательно избегать при наборе текстов.

(20 Мар '13 0:00) falcao

Иногда неправильно работает символ подчеркивания, так он обозначает и нижний индекс, и курсив

(20 Мар '13 9:27) DocentI

@DocentI: спасибо за информацию -- я буду иметь это в виду. Подчёркивание приходится использовать очень часто, и у меня вроде бы не возникало трудностей в связи с этим. Но там, насколько я понимаю, можно использовать команду \sub вместо того же самого.

(20 Мар '13 11:52) falcao

Насчет sub спасибо Вам. С подчеркиванием возникали проблемы, когда оно шло после вертикальной черты (символа подстановки). Но, может, это уже исправили...

(20 Мар '13 14:38) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
4

Рассмотрим функцию $%f(x)=|\sin x|^{\cos x}-|\cos x|^{\sin x}$%. Она определена всюду кроме точек, для которых возникает выражение вида $%0^{-1}$%, то есть при $%x\ne-\pi+2\pi k$%, $%x\ne-\pi/2+2\pi k$% ($%k\in{\mathbb Z})$%. Очевидными решениями уравнения $%f(x)=0$% будет те точки, где косинус и синус равны, то есть $%x=\pi/4+\pi k$%. Проверим, что других решений нет.

Ввиду периодичности косинуса и синуса, достаточно рассмотреть значения функции на любом отрезке длиной $%2\pi$%. Удобно взять отрезок $%[-3\pi/4,5\pi/4]$% с центром в точке $%\pi/4$%. Преобразование $%x\mapsto\pi/2-x$% меняет косинус и синус местами, то есть $%f(\pi/2-x)=-f(x)$%. Поскольку правая и левая половины отрезка при этом переходят друг в друга, достаточно рассматривать случай $%x\in[\pi/4,5\pi/4]$%, не беря значений в уже рассмотренных точках.

Пусть $%0 < a < b < 1$% -- некоторые числа. Тогда верны неравенства $%a^b < b^b < b^a$%. Первое следует из возрастания функции $%x^b$%, а второе -- из убывания функции $%b^x$%. Поскольку на $%(\pi/4,\pi/2)$% синус больше косинуса, при $%a=\cos x$%, $%b=\sin x$% мы приходим к тому, что $%f(x)=(\sin x)^{\cos x}-(\cos x)^{\sin x} > 0$%. При $%x=\pi/2$% неравенство также справедливо.

Пусть $%x\in(\pi/2,\pi)$%. Положим $%t=x-\pi/2\in(0,\pi/2)$%. Ясно, что $%\cos x=-\sin t$%, $%\sin x=\cos t$%. Тогда $%f(x)=(\cos t)^{-\sin t}-(\sin t)^{\cos t} > 0$%, так как при $%a,b\in(0,1)$% выполнено неравенство $%a^b < a^0=1$%.

Наконец, пусть $%x\in(\pi,5\pi/4)$%. Положим $%t=x-\pi\in(0,\pi/4)$%. Ясно, что $%\cos x=-\cos t$%, $%\sin x=-\sin t$%. Тогда $%f(x)=(\sin t)^{-\cos t}-(\cos t)^{-\sin t} > 0$% так как при $%0 < a=\sin t < \cos t=b < 1$% выполнено неравенство $%a^b < b^a$%, то есть $%a^{-b} > b^{-a}$%.

ссылка

отвечен 19 Мар '13 20:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×772

задан
19 Мар '13 17:28

показан
862 раза

обновлен
20 Мар '13 14:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru