На решето, ячейками которого являются квадраты со стороной $%b$%, падает стержень длиной $% a, a < b$%. Пренебрегая толщиной сторон квадрата, определить вероятность того, что этот стержень останется на решете. Считать взаимодействие стержня с решетом близким к абсолютно неупругому, трением пренебречь.

задан 19 Мар '13 18:08

Вопрос по условию: здесь надо исходить из чисто геометрического понимания, или из механического? Имеется в виду следующее: если стержень не задел линий решётки, то тут всё однозначно. Если же задел, то в геометрическом варианте он остался на решётке, а в механическом -- он упадёт, если не останется лежать на двух точках опоры. Какой из вариантов имелся в виду? В принципе, обе задачи имеют смысл.

(19 Мар '13 19:36) falcao

Нужно исходить из механического понимания.

(19 Мар '13 19:40) Anatoliy

Ещё одну вещь хочу уточнить. Правильно ли я понимаю, что стержень обладает массой, и если он упадёт так, что пересечёт две линии решётки таким образом, что его середина (центр тяжести) выходит за пределы отрезка, образованного точками пересечения, то он на решете не останется, так как под действием собственной тяжести провалится внутрь?

(20 Мар '13 1:36) falcao

Вы правильно понимаете. При решении задачи как происходило падение стержня? По отношению к плоскости решета положение стержня произвольное.

(20 Мар '13 13:23) Anatoliy

У меня стержень был параллелен плоскости, на которую она падает. Я рассматривал задачу по аналогии с известной задачей Бюффона. О трёхмерном положении стержня я не думал. Если это существенно влияет на ответ, то можно будет обобщить и на этот случай.

(20 Мар '13 17:30) falcao

Ограничимся этим случаем. Решение принимаю.

(20 Мар '13 20:11) Anatoliy
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Буду исходить из того, что отрезку (стержню), дабы не провалиться внутрь решётки, необходимо иметь две точки опоры, между которыми расположен его центр. Задача имеет смысл также при $%a=b$%, и к ней в принципе всё можно свести. Допустим, при этом получилась вероятность $%p$%. Тогда из простых геометрических соображений легко вывести, что в общем случае ответ будет равен $%p(a/b)^2$%. Мы докажем, что $%p=1/(2\pi)$%, однако рассуждать будем в общем случае, считая $%a\le b$%.

Полагаем $%b=1$%; из соображений пропорциональности, в ответе надо будет сделать замену $%a\mapsto a/b$%. Пусть середина отрезка, точка $%P$%, попала в какой-то единичный квадрат, и она имеет координаты $%(x,y)$%. Считаем, что эта точка имеет равномерное распределение в пределах квадрата. Далее, пусть $%\varphi$% есть угол между двумя прямыми: линией стержня, и осью абсцисс. Можно считать, что он имеет равномерное распределение на $%[0,\pi/2]$%.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через отрезок, будет положительным или отрицательным с одинаковой вероятностью, поэтому можно ограничиться случаем, когда он отрицателен. Если отрезок остался на решётке, то он имеет две точки опоры на линиях решётки, и между ними расположен его центр. При этом возникает один из двух прямоугольных треугольников с третьей вершиной в узле решётки $%(0,0)$% или $%(1,1)$%. Вероятности того и другого одинаковы, а события не пересекаются. Поэтому можно считать, что возник треугольник $%OXY$%, где $%O$% -- начало координат, а $%X$% и $%Y$% -- точки пересечения отрезка с осью абсцисс и ординат соответственно. Полученное при этом значение вероятности надо будет в конце умножить на $%2$%.

Обозначим через $%P$% середину отрезка. Очевидно, что $%x=PY\cos\varphi$% и $%y=PX\sin\varphi$%. Рассматриваемый нами случай наличия двух опор означает, что $%PX < a/2$% и $%PY < a/2$%, то есть он соответствует условиям $%x < a\cos\varphi/2$%, $%y < a\sin\varphi/2$%. Чтобы это имело место, точка $%P(x,y)$% должна попасть в прямоугольник площади $%a^2\sin\varphi\cos\varphi/4=a^2\sin2\varphi/8$%, что происходит с вероятностью, равной этой площади.

С учётом того, что угол $%\varphi$% равномерно распределён на отрезке $%[0,\pi/2]$%, нам надо проинтегрировать полученную функцию по этому отрезку, разделив на его длину. С учётом умножения на $%2$% получится $$2\cdot\frac2{\pi}\cdot\frac{a^2}8\int\limits_0^{\pi/2}\sin2\varphi\,d\varphi=\frac{a^2}{2\pi}.$$ Окончательный ответ после замены: $%(a/b)^2/(2\pi)$%.

ссылка

отвечен 20 Мар '13 12:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,843

задан
19 Мар '13 18:08

показан
611 раз

обновлен
20 Мар '13 20:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru