уравнения - Уравнение в целых числах

Положим $%[\sqrt{9n-1}]=k$%. Это значит, что $%k^2\le9n-1 < (k+1)^2$%. Второе неравенство можно также записать в виде $%9n\le(k+1)^2$%, так как числа здесь целые. Заметим также, что $%k\ge2$%.

Требуется доказать, что $%k\le\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1} < k+1$%. Второе неравенство доказывается совсем просто с учётом того, что $%\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} < 2\sqrt{n}$%, что легко проверить возведением в квадрат: $%n-1+n+1+2\sqrt{n^2-1} < 4n$%. Из этого следует, что $$\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1} < 3\sqrt{n}=\sqrt{9n}\le\sqrt{(k+1)^2}=k+1.$$

Проверим первое неравенство. Нам дано, что $%9n\ge k^2+1$%. Тогда для утроенной суммы корней мы имеем $%3(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1})=\sqrt{9n-9}+\sqrt{9n}+\sqrt{9n+9}\ge\sqrt{k^2-8}+\sqrt{k^2+1}+\sqrt{k^2+10}$% (при $%k\ge3$%). Поскольку среднее слагаемое больше $%k$%, нам достаточно показать, что $%\sqrt{k^2-8}+\sqrt{k^2+10}\ge2k$% (это будет верно для $%k\ge5$%).

Возведение в квадрат даёт $%2k^2+2+2\sqrt{k^4+2k^2-80}\ge4k^2$%, что равносильно $%\sqrt{k^4+2k^2-80}\ge k^2-1$%, что после возведения в квадрат и упрощений принимает вид $%4k^2\ge81$%. Это неравенство справедливо при $%k\ge5$%.

Осталось рассмотреть случай $%k\le4$%. Он означает, что $%9n-1<25$%, то есть $%n\le2$%. Для $%n=1$% и $%n=2$% равенство легко проверить непосредственно. Первое совсем легко, а для второго надо учесть, что $%\sqrt{2}+\sqrt{3} > 3$%.

P.S. Обычно принято говорить "решить уравнение" или "доказать равенство".