|
Подскажите идею: Найти наибольшее и наименьшее значение выражения (11 класс) $%Cos(5x+y)Cos(x+5y)-3Cos(2x)Cos(2y)$% задан 19 Мар '13 23:06 
Lyudmyla |
|
Идея: $$$$ преобразованием произведений в суммы можно перейти к косинусам углов 2(x+y) и 2(x-y) и кратных им; суммы перегруппировкой сводятся к суммам слагаемых, зависящих только от x+y либо только от x-y, после чего обе суммы можно исследовать отдельно. В одной сумме, преобразуя косинус двойного аргумента 4(x-y) к квадрату косинуса аргумента 2(x-y), сводим задачу к исследованию квадратичной функции на отрезке [-1; 1], а в другой - преобразуя косинус тройного аргумента 6(x+y) к кубу косинуса аргумента 2(x+y), сводим задачу к аналогичному исследованию кубической функции на том же отрезке. отвечен 19 Мар '13 23:20 
splen Спасибо. Пробовала так, пока ничего не получилось (кроме как построить в Maple и посмотреть на "это").
(19 Мар '13 23:25)
Lyudmyla
В чём проблема? что-нибудь изложить подробнее?
(19 Мар '13 23:28)
splen
Только что получилось! Спасибо большое! Неделю маялась!
(19 Мар '13 23:46)
Lyudmyla
Поздравляю!
(19 Мар '13 23:50)
splen
|
|
Способом, который описал @splen, всё получается. Удобно работать с удвоенными выражениями. Квадратичная функция имеет вид $%2t^2-3t-1$% на $%[-1,1]$% у неё множество значений будет $%[-17/8,4]$%. После применения формулы $%\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$% и замены $%t=\cos\varphi$%, получается $%4t^3-6t$% для кубической функции. Функция нечётна; критических точек на отрезке $%[-1,1]$% две: $%t=\pm\sqrt{2}/2$%. Значения в них равны $%\mp2\sqrt{2}$%. Значения на концах равны $%\pm2$%. В итоговом ответе получается $%-17/16-\sqrt{2}$% для наименьшего значения и $%2+\sqrt{2}$% для наибольшего. отвечен 19 Мар '13 23:56 
falcao 1
Спасибо большое. Y меня другие окончательные значения $%[-\sqrt2-17/16;\sqrt2+2]$%
(20 Мар '13 0:23)
Lyudmyla
|