Блок из $%N$% подряд идущих натуральных чисел называется хорошим, если произведение каких-то двух из них делится на сумму остальных. Для каких $%N$% существует бесконечно много хороших блоков?

(С. Берлов)

задан 19 Янв 11:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим последовательные числа $%a+1$%, ... , $%a+n$%, где $%n\ge3$%. Пусть $%S=na+\frac{n(n+1)}2$% -- их сумма. Предположим, что существуют $%i\ne j$% со значениями от $%1$% до $%n$% такие, что $%(a+i)(a+j)$% делится на $%S-(a+i)-(a+j)$%. Если для данного $%n$% существует бесконечно много хороших блоков, то найдётся пара, для которой условие делимости имеет место для бесконечно многих значений $%a$%. При этом $%S-(a+i)-(a+j)=(n-2)a+c$%, где $%c=\frac{n(n+1)}2-i-j$%. Тогда $%((n-2)a+(n-2)i)((n-2)a+(n-2)j)$% делится на $%(n-2)a+c$%, и в левой части можно $%(n-2)a$% заменить на $%-c$%, получая равносильное условие делимости произведения $%((n-2)i-c)((n-2)j-c)$% на $%(n-2)a+c$% для бесконечно многих значений $%a$%.

Если ни один из сомножителей произведения не равен нулю, то при перемножении получится число с конечным числом делителей. Значит, можно без ограничения общности считать, что $%(n-2)i=c=\frac{n(n+1)}2-i-j$%. Это значит, что $%(n-1)i=\frac{n(n+1)}2-j$%, то есть в отрезке $%[\frac{n(n+1)}2-n,\frac{n(n+1)}2-1]$% имеется число, делящееся на $%n-1$%.

Сразу отметим, что случай $%i=j$% нам не подходит, а он ведёт к равенству $%i=j=\frac{n+1}2$%. При чётном $%n$% оно невозможно. Тогда в отрезке длиной $%n$% заведомо найдётся число, делящееся на $%n-1$%. Пусть $%n=2k$%; отрезок здесь имеет вид $%[2k^2-k,2k^2+k-1]$%. На $%2k-1$% делится первое, а также последнее из чисел. Этому соответствуют случаи $%i=k$%, $%j=2k$% и $%i=k+1$%, $%j=1$%. Нетрудно проверить, что в первом случае подходит бесконечно много значений $%a$%, для которых $%a+2$% делится на $%n-2$%, а во втором $%a+1$% делится на $%n-2$%.

Таким образом, все чётные $%n\ge4$% подходят. Остаётся проверить, что нечётные значения не подходят. Уже выяснено, что при $%j=\frac{n+1}2$% отрезок даёт число $%\frac{(n-1)(n+1)}2$%, делящееся на $%n-1$%. Сразу два числа в отрезке длиной $%n$%, делящиеся на $%n-1$%, могут быть только в случае, если это первое и последнее числа, но первое число равно $%\frac{n(n-1)}2$%, а оно делится на $%n-1$% только при чётном $%n$%.

ссылка

отвечен 19 Янв 18:18

изменен 19 Янв 18:18

1

А вы посмотрели для частных и вывели гипотезу для общего случая или откуда такая идея возникла?

(19 Янв 18:29) Williams Wol...
1

@Williams Wol...: я увидел это условие сегодня рано утром. Решал по дороге на работу. Устно рассматривал случаи небольших n. Поначалу была гипотеза, что надо брать составные числа. Потом я осознал, что условие имеет вид "(a+i)(a+j) делится на Ka+L". А тут уже было ясно, что из Ka+L должен выделяться множитель a+i или a+j. Тем самым, принципиально задача была решена, и после работы я сел и записал решение. Вышло, что n чётно, что необходимо и достаточно.

(19 Янв 18:34) falcao

@falcao, большое-пребольшое спасибо!

(20 Янв 1:51) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,021
×761
×222
×143
×122

задан
19 Янв 11:55

показан
188 раз

обновлен
20 Янв 1:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru