Допустим, дана гиперболическая функция $%(x/a)^2-(y/b)^2=1$%, ограниченная двумя прямыми параллельными оси ОХ, допустим y=6 и y=0. Как находить объем вращения, если нам не известен верхний и нижний предел?

задан 20 Мар '13 14:24

изменен 20 Мар '13 20:34

Совсем другое дело!

(21 Мар '13 23:38) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

Гипербола симметрична относительно оси $%Oy$%, поэтому объем искомой фигуры вращения равен удвоенному объему фигуры вращения, которая находится справа от оси $%Oy$% $%(x\ge0).$%

alt text

Если $%y=6,$% то $$\frac{x^2}{10^2}-\frac{6^2}{1^2}=1 \Rightarrow x=\pm10\sqrt{37}$$

Если $%y=0,$% то $$\frac{x^2}{10^2}-\frac{0^2}{1^2}=1 \Rightarrow x=10.$$ $$\frac{x^2}{10^2}-\frac{y^2}{1^2}=1 \Rightarrow y=\sqrt{\frac{x^2}{10^2}-1}.$$

Искомый объем $$V=2\Big(\pi6^2\cdot10\sqrt{37}-\pi\int_{10}^{10\sqrt{37}}\Big(\sqrt{\frac{x^2}{10^2}-1}\Big)^2dx\Big)=2\Big(360\sqrt{37}\pi -\pi\int_{10}^{10\sqrt{37}}\Big(\frac{x^2}{10^2}-1\Big)dx\Big)= ...$$

alt text

ссылка

отвечен 22 Мар '13 0:10

изменен 24 Мар '13 15:00

а можно искомый интеграл написать...а то я не совсем не понял от чего отнимаем

(24 Мар '13 12:23) Dikaz

В данном случае фигура вращения представляет собой цилиндр с высотой $%20\sqrt{37}$% и радиусом основания $%6$%, из которого вырезаются две фигуры вращения, объем каждой из них определяется интегралом (вычитаемое в скобках).

(24 Мар '13 14:14) Anatoliy

теперь все понятно...я не правильно понимал задачу

(24 Мар '13 15:35) Dikaz

Хорошо, что Вы разобрались.

(24 Мар '13 15:55) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

Написано неграмотно. Функция здесь не при чем, вращается гипербола. А вокруг какой оси? Вообще-то лучше считать, что вращается не линия (граница), а область, ограниченная этой линией. Потому что в Вашем примере такая не одна.
А почему Вы считаете, что предел не задан? Подставьте y в уравнение и найдете x.

ссылка

отвечен 20 Мар '13 14:47

Вокруг оси ОХ.А так как гипербола симметрична относительно оси ОУ, площадь нужно умножить на 2?

(20 Мар '13 15:01) Dikaz

@Dikaz: Присоединяюсь к мнению @DocentI насчёт некорректного использования терминологии. Что дано в задаче? Уравнение гиперболы. Термин "гиперболическая функция" в математике используется совсем в другом смысле (как и слово "эллиптический" по отношению к кривым, интегралам и прочему). Далее, что такое "объём вращения"? Вращение -- это действие, и оно объёма не имеет. Правильно говорить "объём фигуры вращения". Кроме того, здесь не описано само вращение: относительно какой оси оно происходит? А ведь это важно. Я бы пожелал всем очень тщательно следить за вещами такого характера.

(20 Мар '13 17:57) falcao

я в комментарии ответил вокруг какой оси..понимаю ошибки есть=)все совершают ошибки=)впредь таких ошибок не допущу

(20 Мар '13 20:34) Dikaz

никто не ответил на вопрос площадь нужно умножать на 2?

(20 Мар '13 20:36) Dikaz

@Dikaz: я согласен, что ошибку может допустить каждый, но здесь очень важно специально заботиться о грамотности речи в меру своих возможностей. К сожалению, многие этим пренебрегают, считая такие вещи не слишком важными. Но здесь как бы есть свой "театр", который тоже "начинается с вешалки". Это делается не ради "буквоедства", а ради общего, скажем так, "комфорта". По поводу умножения на $%2$%: у Вас ведь фигура возникает в середине -- между ветвями гипербол и линиями вида $%y=c$%. Конечно, можно найти объём одной её половинки (для $%x\ge0$%), а потом удвоить, но это не принципиально.

(20 Мар '13 21:54) falcao

то есть мы запишем уравнение это как $$ y=sqrt((x/a)^2-1)$$ после чего берем интеграл по формуле и умножаем на два верно?

(21 Мар '13 10:18) Dikaz

@Dikaz: фигура, которая у Вас была описана, имеет такой вид: сверху идёт линия $%y=6$%, справа -- ветвь гиперболы, снизу -- линия $%y=0$%, слева -- ветвь гиперболы. То есть это прямоугольник, от которого справа и слева вырезали куски. Поэтому надо найти объём фигуры, получаемой вращением прямоугольника (это будет цилиндр), а потом надо вычесть удвоенный объём того, что "откусили". И вот это уже вычисляется через формулу с квадратным корнем, и формулу объёма фигуры вращения с участием интеграла.

(21 Мар '13 14:03) falcao

Кто составлял эту задачу, или из какого источника бралась эта задача? Нужно определиться, ибо в противном случае события будут развиватсья по сценарию "блоха и голенища".

(21 Мар '13 14:45) Anatoliy
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×923
×92
×26

задан
20 Мар '13 14:24

показан
2529 раз

обновлен
24 Мар '13 15:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru