Разложить функцию по степеням x и указать интервал, в котором это разложение имеет место. $$ \int_0^x \frac{dt}{ \sqrt{1-t^{2}}} $$ Решал простым табличным разложением функции $$ \frac{1}{ \sqrt{1-x}} $$ В итоге получил: $$ \int_0^x \frac{dt}{ \sqrt{1-t^{2}}} = x+\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^{2n+1}(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} $$ Однако, как дальше искать интервал, в котором это разложение имеет место, не понимаю. Для функции $$ \frac{1}{ \sqrt{1-x}} $$ имеем: $$ 1+\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!} $$ , где $$ x \in [-1,1) $$

задан 21 Янв '18 19:00

@Men007, если Вы смогли вместо $%x$% в табличном разложении подставить $%x^2$%, то что Вам мешает сделать тоже самое с интервалом сходимости?...

(21 Янв '18 19:08) all_exist

То есть, как я понял, мы получим: -1<=x^2<1 ->
1) x^2>=-1 -> x принадлежит от -бесконечности до +бесконечности; 2) x^2<1 -> x принадлежит (-1; 1). Таким образом, интервал для нашего ряда будет таким:

x принадлежит от -бесконечности до +бесконечности.

(21 Янв '18 19:28) Men007

@Men007: это же табличный интеграл, он равен арксинусу. Можно, конечно, получить разложение табличным интегрированием. Радиус сходимости там равен 1: он при почленном дифференцировании и интегрировании не меняется. При x=1 этот ряд сходится, что можно проверить многими способами (там ~ 1/n^{3/2} будет). Значит, сходимость имеет место на отрезке [-1,1], а вне его интеграл не имеет смысла.

(21 Янв '18 19:32) falcao

Таким образом, интервал для нашего ряда будет таким: x принадлежит от -бесконечности до +бесконечности. - дык, пересечение надо брать ...

(21 Янв '18 19:35) all_exist

Точно. Спасибо. Я изначально не заметил, что это арксинус, и начал путаться в интервалах. Пытался доказать сходимость в точках -1 и 1, но не знал как это сделать.

(21 Янв '18 19:52) Men007

@Men007: решать неравенство x^2>=-1 как-то странно -- надо увидеть, что оно всегда верно, то есть отбросить как излишнее.

При x=1 член ряда без учёта 2n+1 в знаменателе равен C_{2n}^n/4^n. Эта величина часто встречается в теории вероятностей. Из формулы Стирлинга следует, что она эквивалентна ~ 1/sqrt{пn}, что в итоге даёт 1/n^{3/2}.

(21 Янв '18 20:38) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,699

задан
21 Янв '18 19:00

показан
342 раза

обновлен
21 Янв '18 20:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru