дискретная-математика - Доказать методом мат.индукции, что если $%A_t⊆B$% для всех $%t∈T$%, то $%∪A_t⊆B$%

Не совсем понятно, какое отношение к этой задаче имеет математическая индукция. Здесь ведь в качестве $%T$% выступает произвольное множество индексов.

Это доказывается обычным логическим рассуждением, которое можно оформить так. Рассмотрим произвольный элемент $%x$%, принадлежащий объединению $%\cup A_t$%. По определению объединения, это означает, что $%x$% принадлежит хотя бы одному из множеств, участвующих в объединении, то есть существует элемент $%t\in T$% такой, что $%x\in A_t$%. Поскольку $%A_t$% есть подмножество множества $%B$%, то по определению отношения включения делаем вывод, что $%t\in B$% (мы опирались на то, что всякий элемент множества $%A_t$% должен принадлежать $%B$%; в частности, это верно для элемента $%x$%). Поскольку выбираемый нами элемент $%x\in\cup A_t$% был произволен, и мы установили, что он принадлежит $%B$%, этим доказана истинность включения $%\cup A_t\subseteq B$%.