∑n=(-1)^n*arctg(1/n)/(n+1)^p Исследовать на абсолютную и условную сходимость. При p>0 я исследую ряд из абсолютных членов и сравниваю его в последующем с рядом 1/n^(p+1) и получаю что ряд сходится абсолютно при p>0. и знакочередующийся по Лейбница тоже сходится. А что в случае если p<=0? не понимаю, как подступиться. опять беру ряд из абсолютных членов и не знаю как его исследовать(

задан 22 Янв '18 16:55

изменен 22 Янв '18 16:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для сходимости ряда необходимо, чтобы общий член стремился к нулю. Это равносильно стремлению к нулю модуля общего члена. Исследуем: arctg(1/n) ~ 1/n; (n+1)^p ~ n^p. Получается ~ 1/n^{p+1}. Знаменатель должен стремиться к бесконечности, что возможно только при p > -1. Если p<=-1, то ряд расходится в силу необходимого признака.

Далее, для сходимости ряда из модулей необходимо и достаточно условие p > 0. Здесь ряд будет сходиться абсолютно. Остаются случаи -1 < p <=0. Ряд из условия является знакочередующимся. Модуль n-го члена стремится к нулю. Значит, достаточно проверить монотонную сходимость (начиная с некоторого члена). Если это сделать, то станет возможно применить признак Лейбница, из которого будет следовать, что при рассматриваемых значений p ряд сходится условно.

Смотрим на модуль общего члена как он есть: arctg(1/n)/(n+1)^p. Здесь требуются какие-то соображения, так как рассматривается произведение убывающей последовательности arctg(1/n) и возрастающей последовательности (n+1)^{-p} (при отрицательных p).

Положим a=-p (это число принадлежит [0;1)) и рассмотрим функцию f(x)=(x+1)^a arctg(1/x). Находим производную: f'(x)=a(x+1)^(a-1)arctg(1/x)-(x+1)^a/(x^2+1). Докажем, что при достаточно больших x она отрицательна. Сокращая на (x+1)^(a-1), получаем a arctg(1/x) < (x+1)/(x^2+1), что требуется доказать. Воспользуемся известным неравенством arctg(1/x) < 1/x. Тогда достаточно доказать, что a(x^2+1) < x(x+1), а это верно при a < 1 и x>=1.

ссылка

отвечен 22 Янв '18 18:36

изменен 22 Янв '18 19:15

Получается ~ 1/n^{p+1}. но ведь я сравниваю с данным рядом. и он сходится при p+1>1 и расходится при p+1<=1 (как обобщенный гармонический ряд). или я что-то не понимаю в рассуждениях? и еще тогда вопрос, расходится ряд из модулей при некотором p. как получается, что и весь ряд знакочеред при этом p тоже расходится?

(22 Янв '18 18:43) Ylia13

@Ylia13: то, что ряд из модулей сходится при p+1 > 1 и расходится в остальных случаях, достаточно очевидно. Но это лёгкая часть задачи. Она говорит о том, что абсолютная сходимость имеет место только при p > 0. Также не очень сложно доказывается, что при p<=-1 ряд расходится. Основной случай -- это -1 < p <=0, когда мы доказываем условную сходимость через признак Лейбница. Про ряд из модулей в этом случае лучше не вспомнить, так как мы уже знаем, что он расходится, но для знакочередующихся рядов это бывает очень часто, но не мешает им сходится (условно). И там я производную рассмотрел.

(22 Янв '18 18:54) falcao

Также не очень сложно доказывается, что при p<=-1 ряд расходится. а можете пояснить примером) а то я уже запуталась.

(22 Янв '18 19:06) Ylia13

@Ylia13: а Вы читали написанное мной решение? :) Я ведь это там очень подробно расписал и обосновал (через необходимый признак сходимости), а здесь просто отметил, что эта часть рассуждения тоже простая.

(22 Янв '18 19:14) falcao

спасибо) просто мое решение и Ваше решение, и все в куче у меня уже)

(22 Янв '18 19:17) Ylia13

@Ylia13: я считаю, что следует придерживаться такого принципа: если Вы можете решить задачу сами, то делаете это. Если не можете, то спрашиваете. В этом случае все свои мысли следует "погасить", и следовать предложенному решению. В противном случае одно будет "конфликтовать" с другим. Потом уже понятое решение можно будет сравнить с тем, что было.

(22 Янв '18 19:46) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×758
×274

задан
22 Янв '18 16:55

показан
779 раз

обновлен
22 Янв '18 19:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru