Приведите пример линейно связного компактного подмножества A⊂R^2, для которого не существует непрерывной сюръекции [0; 1] → A.

задан 23 Янв 23:14

10|600 символов нужно символов осталось
4

Рассмотрим канторово множество C на отрезке [0,1]. Домножим его декартово на отрезок [0,1] и добавим к нему отрезок [0,1]x{1}. Ясно, что получится замкнутое ограниченное множество (в форме своего рода "расчёски"), то есть оно компактно. Каждая точка данного множества может быть соединена вертикальным отрезком с точкой из [0,1]x{1}. Отсюда вытекает линейная связность. Образом отрезка при непрерывном отображении построенное множество не будет. В самом деле, для любой точки c из C у нас имеется интервал {c}x(0,1). Такие интервалы попарно не пересекаются, и их у нас континуум. Прообразы этих интервалов при непрерывной сюръекции -- непустые и открытые. Каждое такое открытое множество содержит интервал, а в нём есть точка с рациональной координатой. Эти точки разные для разных c, а тогда их получается не меньше континуума, что ведёт к противоречию.

ссылка

отвечен 24 Янв 1:02

1

@falcao, не могли бы Вы объяснить, пожалуйста, почему {c}x(0,1) является открытым?

(12 Фев 18:16) Lans
1

@Lans: интервал как часть плоскости не будет открыт в R^2. Однако его прообраз, тем не менее, будет открыт. Действительно, рассмотрим точку интервала {c}x{0,1} и окружим её малой окрестностью, которая не содержит точек добавленного отрезка [0,1]x{1}. Прообраз будет открыт, и там содержится интервал. Его образ связен и содержится в несвязном множестве Cx{0,1}. Поэтому он содержится в связной компоненте, которая есть {c}x{0,1}. Это и значит, что прообраз открыт.

(13 Фев 4:23) falcao

@falcao. Спасибо. Красивое решение.

(13 Фев 18:14) Lans
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×151

задан
23 Янв 23:14

показан
112 раз

обновлен
13 Фев 18:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru