Известно, что окружность есть геометрическое место точек вершин прямоугольных (пифагоровых) треугольников, построенных на диаметре d этой окружности и отвечающих уравнению:

$$a^2 + b^2 = d^2$$

где $%a$% и $%b$% - длины меньших сторон треугольника. Несложно показать, что на том же диаметре $%d$% можно построить замкнутую кривую, каждая точка которой отвечает уравнению:

$$a^3 + b^3 = d^3$$

(назовём её «кругоида третьей степени»), где по-прежнему $%a$% и $%b$% - длины меньших сторон треугольника. И вообще для любого значения x, если x больше единицы и меньше бесконечности, на том же диаметре $%d$% можно построить кругоиду степени $%x$%, каждая точка которой отвечает тому же, предыдущему уравнению, в котором вместо цифры 3 стоит значение величины $%x$%.


Как найти длину кругоиды степени $%x$%, площадь, ограниченную кругоидой, площадь поверхности и объём фигуры, образованной вращением кругоиды относительно какой-либо из осей её симметрии?

задан 5 Фев '12 12:50

изменен 5 Фев '12 12:55

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

вопрос заинтересовал, не знаю, как такое решается

(5 Фев '12 13:50) Balon

@nikolaykruzhilin1936, у меня почему-то пропала кнопка "добавить комментарий" в потоке моего ответа, поэтому продолжаю дискуссию здесь.
Вы говорите, что "диаметр покачивается на одной из своих вершин". Но это делает не сам диаметр, а наша "переменная сторона". Ее длина равна длине диаметра только при нулевой второй переменной стороне. При отклонении, ее длина резко уменьшается, поэтому и угол соответствующий. Формально найти величину данного угла можно только при помощи производных. Этим я в данный момент и занимаюсь.

(3 Окт '12 20:53) chameleon

P.S. Посчитал. Ваша взяла, действительно нет углов =)

(3 Окт '12 22:43) chameleon

@chameleon, на каждый вопрос/ответ можно дать не более 4 комментариев. Я обычно при необходимости удаляю менее нужные старые комментарии. Или редактирую ответ, добавляя в него правки и отмечая их жирным шрифтом. Впрочем, это не всегда удобно: информация о таких правках не приходит на e-mail.

(4 Окт '12 0:09) DocentI

@Nikolay, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(19 Апр '14 14:05) Angry Bird
10|600 символов нужно символов осталось
4

Есть подозрения, что уже для x=3 задача аналитически не решается. Хотя, я могу ошибаться. Приведу случай x=3.

alt text

$$ \begin{cases} \overrightarrow{a} = (d/2+x;y)\\ \overrightarrow{b} = (d/2-x;y) \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a^2=(x+d/2)^2+y^2\\ b^2=(x-d/2)^2+y^2 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=\frac{a^2-b^2}{2d}\\ y=\pm\sqrt{a^2-\left( \frac{a^2-b^2+d^2}{2d}\right)^2} \end{cases} $$

Итог:

$$ \begin{cases} x=x(b)\\ y=y(b) \end{cases}, left \leq b \leq right $$ Длина, площадь и так далее, смотри мат. анализ. К примеру, длина:

$$\int_{left}^{right} \sqrt{x'^2(b)+y'^2(b)}db$$

ссылка

отвечен 5 Фев '12 15:44

изменен 5 Фев '12 20:28

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
3

Попробуйте перейти к полярным координатам: $%x=r\ast cos(a)$%, $%y=r \ast sin(a)$%, тогда $%r=d/(cos^na+sin^na)^{1/n}$%.

Затем используйте программу построения графиков в полярных координатах, чтобы посмотреть форму графика при разных значениях n.

alt text

ссылка

отвечен 5 Фев '12 19:59

изменен 10 Май '13 20:12

По-моему вы нашли уравнение множества точек, таких что расстояние от начала координат в степени n постоянно.

(12 Фев '12 9:41) dmg3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Теоретического смысла в задаче не так много. Интегралы либо не берутся, либо будут приведены к специальным функциям. Но , если нужны для практики, то лучше применять методы вычислительной математики.

ссылка

отвечен 7 Фев '12 16:10

10|600 символов нужно символов осталось
2

Интересная задачка! Я попытаюсь подытожить ответы других пользователей.
Как заметили @ValeryB и @nikolaykruzhilin1936, в общем случае эта задача, скорее всего, не решаема. Поэтому опишу частные случаи.
$%n=1:$% кругоид вырождается в отрезок, на котором построен. Длина - $%d$%, площадь поверхности вращения вокруг серединного перпендикуляра - $%\frac{\pi d^2}2$%, все остальные характеристики - $%0$%. Интересно отметить, что в верхнем пределе ($%n=1+o(1)$%) та же длина кругоиды уже равняется $%2d$%.
$%n=2:$% кругоид является кругом, поверхности вращения - шарами. Думаю, характеристики этих фигур все знают напамять.
$%n \rightarrow +\infty:$% кругоид стремится к пересечению двух кругов диаметром $%d$% с центрами на концах отрезка, на котором построен кругоид. Длина: $%l=\frac{4\pi d}3$%. Площадь: $%S=\left(\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt 3}2\right)d^2$%. Объем фигуры вращения вокруг диаметра: $%V_1=\frac{5\pi d^3}{12}$%. Площадь поверхности вращения вокруг диаметра: $%S_1=2\pi d^2$%. Объем фигуры вращения вокруг второй оси: $%V_2=\left(\frac{3\sqrt 3\pi}4-\frac{\pi^2}3\right)d^3$%. Площадь поверхности вращения вокруг второй оси: $%S_2=\left(2\sqrt 3\pi-\frac{2\pi^2}3\right)d^2$%.
В общем случае, кругоид является симметричной фигурой с диаметрами $%d$% и $%2\sqrt{4^{1-\frac 1 n}-1}$%. Взяв на вооружение достижения Механика и численные методы, я получил графики характестик единичной кругоиды, в зависимости от ее степени. Результаты можно посмотреть здесь (логарифмическая шкала, весь диапазон) и здесь (обычная шкала, $%n\in[1;10]$%).

ссылка

отвечен 3 Окт '12 2:42

P.S. есть еще одна интересная характеристика кругоиды: величины углов на концах диаметров. Их, наверняка, можно выразить аналитически для любого $%n>1$%, но я не особо силен в пределах, да и спать пора.

(3 Окт '12 2:55) chameleon

@chameleon. Непонятно, что Вы имеете в виду под величиной угла кругоиды на концах диаметров. Разве касательная к кругоиде на концах обоих ортогональных диаметров не ортогональна к диаметрам, за исключением единственного случая (для вертикального диаметра), когда x стремится к? Или я просто не так понял Вас?

(3 Окт '12 13:20) nikolaykruzh...

Я не смог это точно определить, но судя по графикам, угол на концах большего диаметра не равен $%\pi$%.

(3 Окт '12 14:57) chameleon

Нет, я ошибся: угол меньше $%\pi$% существует (судя по графикам) только при $%n < 2$%. Графики можете посмотреть здесь

(3 Окт '12 15:53) chameleon

Какой Вы молодец! Вы так хорошо освоили компьютер? И систематизация решений, и графики, и численные методы вычислений (не буду больше хвалить, чтобы не зазнался)... Угол $%\pi$% существует всегда на концах диаметров (за исключением, которое я назвал раньше), потому что в пределе наибольшая переменная сторона треугольника становится его основанием (диаметром)на горизонтали и две стороны равны друг другу (равнобедренный треугольник) на вертикали: в этой точке кривая траектории ортогональна вертикали

(3 Окт '12 18:55) nikolaykruzh...

Всё, что Вы написали после слов "потому что" - правда, только это абсолютно ничего не доказывает, так как эти "переменные стороны" могут подходить к указанным Вами пределам под любым углом. Собственно, то, что Вы написали, доказывает только то, что диаметры кругоиды являются ее диаметрами.

(3 Окт '12 19:07) chameleon

Х-м. Даже не знаю, что возразить. Если в треугольнике одна его сторона, вращаясь относительно конца, который связан с основанием, стремится к величине основания, а другая стремится к нулю, то траектория кругоиды, которую описывает вершина треугольника, в предельной точке становится окружностью. Неужели против этого можно что-то возразить? Диаметр кругоиды, покачиваясь относительно своих концов на очень малый угол, описывает дугу окружности. Касательная её ортогональна к диаметру. У меня больше аргументов нет. Почему большая сторона может подходить под любым углом (к чему?), убейте,не понимаю

(3 Окт '12 20:31) nikolaykruzh...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Данная кривая не является ограниченным множеством при нечётных степенях.

Действительно, так как арифметический корень нечётной степени определён для всех вещественных чисел, то уравнение $%x^n+y^n=d^n$% в данном случае эквивалентно уравнению $%y=\sqrt[n]{d^n-x^n}$% на всей вещественной оси. Если мы будем устремлять $%x$% к $%+\infty$% и $%-\infty$%, мы получим в пределе $%-\infty$% и $%+\infty$%. Поэтому в данном случаем, мы можем говорить лишь о длине части кругоиды.

Ещё раз напомню, что $%n - нечётное.$% $$y'=-x^{n-1}\sqrt[n]{(d^n-x^n)^{n-1}}$$

Ограничим кругоиду прямыми $%x=a$% и $%x=b$%.

Тогда $$L(a,b)=\int\limits_C dl=\int\limits_a^b\sqrt{1+x^{2n-2}\sqrt[n]{(d^n-x^n)^{2n-2}}}~dx$$

Если мы хотим рассматривать ограниченную кругоиду, то надо рассматривать соотношение $%|x|^n+|y|^n=d^n.$%

ссылка

отвечен 10 Май '13 10:04

изменен 10 Май '13 10:38

Мне кажется, тут надо рассматривать только часть линии, расположенную в первой координатной четверти. Уравнение имеет вид $%y=(1-x^n)^{1/n}$%, где $%n$% -- любое положительное число, и оно задано на $%x\in[0,1]$%. Можно спрашивать про длину, про площадь etc. Я, кстати, не понял, почему у Вас такая производная получилась?

(10 Май '13 10:27) falcao

Случайно отправил не до конца набранный ответ.

(10 Май '13 10:39) MathTrbl

MathTrbl: Производная там не такая -- проверьте ещё раз, пожалуйста! В задаче, мне кажется, изначально имеет смысл говорить только о первой четверти, и рассматривать любые положительные $%n$%.

(10 Май '13 11:56) falcao

@falcao! Вы рассматриваете кругоиду в ПДСК. А задана она в упрощённой биполярной системе координат. Поэтому никаких четвертей на бумаге нет. a и b изменяются от нуля до c. Отрицательных величин не существует. Кривая имеет две взаимно ортогональных оси симметрии по типу эллипса. Но эллипс - кривая второй степени, а кругоида - любой степени, в том числе, как частный случай, и второй (для окружности)... Любая точка площади внутри гиперкругоиды связана с концами заданного отрезка c величинами a и b. Их можно рассматривать как координаты вершины угла. Но это не упрощает задачу о производной.

(29 Авг '14 0:23) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Да, пожалуй, лучшим является применение методов вычислительной математики. Если в кругоиде второй степени отношение длины кругоиды к диаметру является числом трансцендентным, то уж, тем более,следует ожидать сложностей при ответе на поставленный вопрос для кругоиды в самом общем случае. Спасибо Вам, @ValeryB, и всем другим товарищам.

ссылка

отвечен 18 Фев '12 11:03

изменен 9 Май '13 18:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,313
×33

задан
5 Фев '12 12:50

показан
2592 раза

обновлен
29 Авг '14 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru