геометрия - Как найти длину кругоиды степени (x)?

Попробуйте перейти к полярным координатам: $%x=r\ast cos(a)$%, $%y=r \ast sin(a)$%, тогда $%r=d/(cos^na+sin^na)^{1/n}$%.

Затем используйте программу построения графиков в полярных координатах, чтобы посмотреть форму графика при разных значениях n.

Теоретического смысла в задаче не так много. Интегралы либо не берутся, либо будут приведены к специальным функциям. Но , если нужны для практики, то лучше применять методы вычислительной математики.

Интересная задачка! Я попытаюсь подытожить ответы других пользователей.
Как заметили @ValeryB и @nikolaykruzhilin1936, в общем случае эта задача, скорее всего, не решаема. Поэтому опишу частные случаи.
$%n=1:$% кругоид вырождается в отрезок, на котором построен. Длина - $%d$%, площадь поверхности вращения вокруг серединного перпендикуляра - $%\frac{\pi d^2}2$%, все остальные характеристики - $%0$%. Интересно отметить, что в верхнем пределе ($%n=1+o(1)$%) та же длина кругоиды уже равняется $%2d$%.
$%n=2:$% кругоид является кругом, поверхности вращения - шарами. Думаю, характеристики этих фигур все знают напамять.
$%n \rightarrow +\infty:$% кругоид стремится к пересечению двух кругов диаметром $%d$% с центрами на концах отрезка, на котором построен кругоид. Длина: $%l=\frac{4\pi d}3$%. Площадь: $%S=\left(\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt 3}2\right)d^2$%. Объем фигуры вращения вокруг диаметра: $%V_1=\frac{5\pi d^3}{12}$%. Площадь поверхности вращения вокруг диаметра: $%S_1=2\pi d^2$%. Объем фигуры вращения вокруг второй оси: $%V_2=\left(\frac{3\sqrt 3\pi}4-\frac{\pi^2}3\right)d^3$%. Площадь поверхности вращения вокруг второй оси: $%S_2=\left(2\sqrt 3\pi-\frac{2\pi^2}3\right)d^2$%.
В общем случае, кругоид является симметричной фигурой с диаметрами $%d$% и $%2\sqrt{4^{1-\frac 1 n}-1}$%. Взяв на вооружение достижения Механика и численные методы, я получил графики характестик единичной кругоиды, в зависимости от ее степени. Результаты можно посмотреть здесь (логарифмическая шкала, весь диапазон) и здесь (обычная шкала, $%n\in[1;10]$%).

Данная кривая не является ограниченным множеством при нечётных степенях.

Действительно, так как арифметический корень нечётной степени определён для всех вещественных чисел, то уравнение $%x^n+y^n=d^n$% в данном случае эквивалентно уравнению $%y=\sqrt[n]{d^n-x^n}$% на всей вещественной оси. Если мы будем устремлять $%x$% к $%+\infty$% и $%-\infty$%, мы получим в пределе $%-\infty$% и $%+\infty$%. Поэтому в данном случаем, мы можем говорить лишь о длине части кругоиды.

Ещё раз напомню, что $%n - нечётное.$% $$y'=-x^{n-1}\sqrt[n]{(d^n-x^n)^{n-1}}$$

Ограничим кругоиду прямыми $%x=a$% и $%x=b$%.

Тогда $$L(a,b)=\int\limits_C dl=\int\limits_a^b\sqrt{1+x^{2n-2}\sqrt[n]{(d^n-x^n)^{2n-2}}}~dx$$

Если мы хотим рассматривать ограниченную кругоиду, то надо рассматривать соотношение $%|x|^n+|y|^n=d^n.$%

Да, пожалуй, лучшим является применение методов вычислительной математики. Если в кругоиде второй степени отношение длины кругоиды к диаметру является числом трансцендентным, то уж, тем более,следует ожидать сложностей при ответе на поставленный вопрос для кругоиды в самом общем случае. Спасибо Вам, @ValeryB, и всем другим товарищам.