|
Здравствуйте. Скажите пожалуйста, почему по методу Абеля и Дирихле cosn/n^(1/2) сходится. Я понимаю, что косинус - ограниченная функция, но что насчет 1/n^(1/2)? задан 20 Мар '13 21:46 
Алексей Березин |
|
Частичные суммы $%S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}{\cos{k}}$% ограничены, а последовательность $%\left \lbrace \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right \rbrace$% монотонно стремится к нулю при $%n \to \infty$%, следовательно, ряд отвечен 20 Мар '13 22:22 
Mather |
|
То, что косинус -- ограниченная функция, здесь не достаточно. Нужно рассматривать частичные суммы вида $$\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx$$ при $%x=1$%. Для "сворачивания" таких сумм имеются известные формулы, из которых следует, что все они по модулю ограничены сверху некоторой константой, не зависящей от $%n$%. После этого становится применим принцип Дирихле, так как последовательность $%1/\sqrt{n}$% положительна и монотонно стремится к нулю. А принцип Абеля напрямую здесь вроде как неприменим. Но обычно эти признаки идут как бы в паре, и выводятся друг из друга. отвечен 20 Мар '13 22:34 
falcao |
Это ли не потому, что последняя в пределе бесконечности дает нуль?
И поэтому тоже