Здравствуйте. Скажите пожалуйста, почему по методу Абеля и Дирихле cosn/n^(1/2) сходится. Я понимаю, что косинус - ограниченная функция, но что насчет 1/n^(1/2)?

задан 20 Мар '13 21:46

изменен 20 Мар '13 21:49

Это ли не потому, что последняя в пределе бесконечности дает нуль?

(20 Мар '13 21:52) Алексей Березин

И поэтому тоже

(21 Мар '13 0:33) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Частичные суммы $%S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}{\cos{k}}$% ограничены, а последовательность $%\left \lbrace \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right \rbrace$% монотонно стремится к нулю при $%n \to \infty$%, следовательно, ряд
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{\cos{n}}{\sqrt{n}}}$$ сходится по признаку Дирихле.
Признак Абеля здесь не удастся использовать, так как не сходится ни один из рядов $%\sum{\cos{n}}, \;\; \sum{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.$%

ссылка

отвечен 20 Мар '13 22:22

изменен 20 Мар '13 22:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

То, что косинус -- ограниченная функция, здесь не достаточно. Нужно рассматривать частичные суммы вида $$\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx$$ при $%x=1$%. Для "сворачивания" таких сумм имеются известные формулы, из которых следует, что все они по модулю ограничены сверху некоторой константой, не зависящей от $%n$%. После этого становится применим принцип Дирихле, так как последовательность $%1/\sqrt{n}$% положительна и монотонно стремится к нулю. А принцип Абеля напрямую здесь вроде как неприменим. Но обычно эти признаки идут как бы в паре, и выводятся друг из друга.

ссылка

отвечен 20 Мар '13 22:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×771

задан
20 Мар '13 21:46

показан
1218 раз

обновлен
21 Мар '13 0:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru