последовательность {An} такова, что A1 = (1 + sqrt5)/4 и An+1 = 2An^2 - 1 Найдите A1*A2018

задан 25 Янв 21:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нетрудно проверить, что $%a_1=\cos\frac{\pi}5$%. Это доказывается геометрически при помощи рассмотрения правильного 5-угольника. Если $%a_n=\cos t$%, то $%a_{n+1}=2\cos^2t-1=\cos2t$%. Отсюда $%a_{2018}=\cos\frac{2^{2017}\pi}5$%.

Степени двойки, начиная с первой, оканчиваются десятичными цифрами 2, 4, 8, 6 с периодом 4. В частности, $%2^{2018}$% оканчивается цифрой 2, то есть $%2^{2018}=10m+2$% для некоторого натурального $%m$%. Отсюда $%a_{2018}=\cos(2\pi+\frac{2\pi}5)=\cos\frac{2\pi}5$%. Следовательно, $%a_1a_{2018}=\cos\frac{\pi}5\cos\frac{2\pi}5=\frac{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}{16}=\frac14$%.

ссылка

отвечен 25 Янв 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

Достаточно заметить, что $%A_3 = - A_1.$% Отсюда $%A_2=A_4=...=A_{2k}=...=A_{2018},$% и $$A_1A_{2018}=A_1A_2= \frac{1+\sqrt 5}{4} \cdot \frac{-1+\sqrt 5}{4}=\frac{1}{4}.$$

ссылка

отвечен 26 Янв 2:27

изменен 26 Янв 3:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×268

задан
25 Янв 21:49

показан
294 раза

обновлен
26 Янв 3:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru