(X, ≺) — вполне упорядоченное множество, X несчетно, но для всякого a ∈ X множество {x ∈ X : x ≺ a} является счетным. Введем на X топологию, в которой предбазу образуют всевозможные множества вида {x: x ≺ a} и {x: a ≺ x}. Доказать, что X является хаусдорфовым, не является компактным, но при этом у всякой последовательности элементов X есть сходящаяся подпоследовательность.

задан 26 Янв '18 4:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь рассматривается первый несчётный ординал, топология которого задаётся порядком.

Если a < b -- два различных элемента, и строго между ними есть элемент c, то берём интервалы {x| x < c} и {x| c < x}. Они не пересекаются. Если между a и b ничего нет, то берём {x| x < b} и {x| a < x}. Отсюда следует хаусдорфовость.

Отсутствие компактности очевидно: в множестве нет последнего элемента, поэтому {x| x < a} есть открытое покрытие X, где a пробегает X. Ясно, что конечного подпокрытия там нет.

Если последовательность возрастает, то берём объединение её членов (счётных ординалов). Получается снова счётный ординал, и он будет пределом. Если у последовательности есть возрастающая подпоследовательность, то всё доказано. Если нет, то есть наибольший член. Если он встречается бесконечно много раз, то есть постоянная сходящаяся к нему последовательность. Если он встречается конечное число раз, то удалим все вхождения этого элемента x1. У оставшейся бесконечной последовательности выделяем наибольший член x2 < x1, и повторяем то же самое. Мы либо найдём сходящуюся подпоследовательность, либо получим член x3 < x2 < x1. До бесконечности этот процесс продолжаться не может ввиду условия обрыва убывающих цепей.

ссылка

отвечен 26 Янв '18 16:54

@falcao, простите пожалуйста, если нет возрастающей, то вроде как есть убывающая или я не прав?

(8 Фев '18 1:46) ВВД

@Гаврош: в общем случае у функции или у последовательности характер возрастания/убывания может всё время меняться. Поэтому, если что-то не относится к узкому классу возрастающих функций, отсюда прямо ничего следует насчёт убывания. Нужна чуть более детальная аргументация. У меня она и приведена.

(8 Фев '18 2:03) falcao

@falcao, да, Вы правы. Мне просто сначала показалось что это линейно упорядоченное множество

(8 Фев '18 2:17) ВВД

@Гаврош: Вам совершенно правильно показалось. Это множество линейно упорядочено, как и любой ординал. И вещественная прямая тоже линейно упорядочена. Это значит, что любая последовательность из ДВУХ членов или возрастает (x < y), или убывает (x > y), не считая случая x=y. Но если членов хотя бы три, то может быть смешанный случай типа 5, 7, 2, когда последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

(8 Фев '18 2:54) falcao

Не могли бы Вы объяснить последний абзац, буду очень благодарен, а то я наверное дурак. Как объединение членов последовательности может быть пределом? И почему в случае возрастания все доказано

(18 Фев '18 20:59) ВВД

@Гаврош: пусть имеются ординалы x1 < x2 < ... , где x -- их объединение. Рассмотрим интервальную окрестность (a,b) точки x, то есть a < x < b. Если какое-то x_n лежит между a и x, то вне окрестности (a,b) находится лишь конечное число членов последовательности. Именно это и нужно, согласно определению предела. Если же это не так, то все x_n меньше a. Для ординалов "меньше" означает "принадлежит". Тогда все элементы x как объединения принадлежат a. Значит, x<=a (подмножество), что противоречит условию a < x.

Раз возрастающая последовательность имеет предел, то в случае её наличия всё доказано.

(18 Фев '18 22:10) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×339

задан
26 Янв '18 4:03

показан
384 раза

обновлен
18 Фев '18 22:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru