Есть задача (довольно известная) о подборе решения (скажем, ключа или забытой цифры номера). Ответ у нее очень простой, но рассуждение не такое простое.

На связке n ключей. Человек не знает, какой ключ из связки подходит для замка. Он перебирает их по-очереди. Какова вероятность того, что за m попыток он это сделает? В том смысле, что m попыток ему хватит. Можно показать, что ответ равен m/n, так как вероятность открыть дверь ровно через m попыток постоянна и равна 1/n.

Этот ответ очень напоминает классическое определение вероятности, хотя и не сводится к последнему. Можно ли объяснить этот удивительный факт без вычислений?

задан 21 Мар '13 0:17

изменен 21 Мар '13 19:50

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Я думаю, здесь классического определения вероятности вполне достаточно. Если ключи занумерованы фиксированным случайным образом, то вероятность того, что заданный ключ открывает дверь, равна $%1/n$%. Пусть $%A_i$% -- случайное событие, состоящее в том, что $%i$%-й ключ подходит. Оно имеет вероятность $%1/n$%. Если мы делаем $%m$% попыток, беря первые $%m$% ключей, то мы имеем дело с объединением событий вида $%A_i$%, где где $%1\le i\le m$%. Они попарно не пересекаются, так как "правильный" ключ всего один. Значит, вероятность открыть дверь за $%m$% попыток равна сумме этих вероятностей, то есть $%m/n$%.

ссылка

отвечен 21 Мар '13 0:37

Наверное, можно интерпретировать опыт так: есть $%n$% ключей, мы откладываем из них $%m$%, а потом их проверяем.

(21 Мар '13 15:34) DocentI

Да, так и есть, но я хотел здесь подчеркнуть, что в рассуждении используются только "классические" средства, а именно простейшие свойства вероятности (типа аддитивности). Сам тот принцип, что если есть $%N$% равновероятных исходов, среди которых имеется $%M$% удачных, то вероятность удачи равна $%M/N$%, выводится на основании тех же соображений, то есть именно их следует считать "первичными".

(21 Мар '13 18:32) falcao

Подумала еще, и не могу согласиться. Равновероятность "составляющих" событий не очевидна.

(24 Мар '13 23:53) DocentI

@DocentI: если так, то Вы ставите под сомнение само условие задачи. Событие $%A_i$% состоит в том, что ключ, названный $%i$%-м, в принципе способен открыть данную дверь. Таким свойством обладает ровно один из ключей. Вероятность того, что именно ему был присвоен номер $%i$%, а не $%j$%, вытекает из "случайности" процедуры маркировки ключей. Если она таковой не была, то это равносильно предположению о наличии каких-то скрытых подсказок или "тайных знаков", чего в такого рода задачах быть не должно.

(25 Мар '13 0:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Решение задачи m/n предполагает, что при подборе ключа мы каждый раз возвращаем не подошедший к замку ключ обратно в связку. Но практически так никто не делает. Берут наугад ключ из связки и, если он не подошёл, его откладывают в сторону. Из оставшихся n-1 ключей пробуют какой-нибудь ключ. Если и он не подошёл, то и его откладывают в сторону. Далее следующий ключ выбирается из n-2 ключей. То есть, с каждым шагом вероятность правильного подбора возрастает. Вероятность того, что за m выборок замок будет открыт равна 1/n + 1/(n-1) + 1/(n-2).... Здесь m слагаемых. Я прав?

ссылка

отвечен 17 Май '14 7:53

Нет, это неправильно. Здесь суммируются вероятности событий, которые пересекаются.

(17 Май '14 7:59) falcao

@Mihajlo, Для опровержения вашего решения достаточно взять n=10, m=6. По вашему, вероятность того, что за 6 попыток ключ будет подобран, равна 2761/2520, что больше 1.

(17 Май '14 10:25) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
0

После каждой проверки неподошедший ключ изымается. Пусть p - вероятность события, что ключ будет подобран на m-той попытке. Эта вероятность равна произведению вероятностей событий, что ключ не подобран на шагах 1,2,3... m-1 и подобран на m. Можно записать: p=((n-1)/n)((n-2)/(n-1))((n-3)/(n-2))...((n-m+1)/(n-m+2))m/(n-m+1). После сокращения и упрощения получаем p=m(n-m+1)/(n*(n-m+1))=m/n.

ссылка

отвечен 4 Сен 0:10

В условии спрашивалось о том, можно ли к такому же выводу прийти без вычислений.

(4 Сен 0:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,816

задан
21 Мар '13 0:17

показан
4734 раза

обновлен
4 Сен 0:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru