Как привести к первому замечательному пределу? lim x -> 0 (x-sin(x))/x^3

задан 27 Янв '18 0:53

2

применить правило Лопиталя...

(27 Янв '18 1:19) all_exist

Должны быть другие способы.

(27 Янв '18 9:27) dimka11

@dimka11: вместо правила Лопиталя, можно применить разложение по формуле Тейлора: sin x = x - x^3/6 + o(x^3) при x->0. Получится 1/6. Один факт при этом равносилен другому.

(27 Янв '18 12:24) falcao

@dimka11 Не должны, без производной не обойтись.

(27 Янв '18 14:04) abc

Формула Тейлора это тоже самое дифференцирование.

(28 Янв '18 0:44) dimka11

Может можно преобразовать в другие тригонометрические функции или через замену переменной?!

(28 Янв '18 0:45) dimka11

@dimka11, Вам три человека с высшим математическим образованием сказали, что другого пути, кроме использования производных, нет... Если не верите, то спросите на других формулах...

(28 Янв '18 1:19) all_exist

@dimka11: если не нравится дифференцирование, можно предложить решение с помощью интегрирования :)

(28 Янв '18 2:37) falcao
1

@falcao, а по т. о сжатой последовательности? Если заранее знать ответ, то можно подогнать последовательности.

(28 Янв '18 2:53) Williams Wol...

@Williams Wol...: что такое "сжатая последовательность"?

(28 Янв '18 3:24) falcao

правда тут не последовательность, а функция, но разница невелика

(28 Янв '18 3:42) Williams Wol...

@Williams Wol..., а по т. о сжатой последовательности? - "зажатой" ...

правда тут не последовательность, а функция, но разница невелика - и таки для последовательностей она тоже формулируется...

(28 Янв '18 4:26) all_exist

@Williams Wol...: так она так испокон веков и называется, как по ссылке -- "теорема о двух милиционерах". Она же -- "two policemen lemma". Если бы Вы так её назвали, я бы сразу понял. А так -- подумал на что-то типа принципа сжимающих отображений.

Здесь совершенно непонятно, как её применять -- ведь нужны точные оценки сверху и снизу для x-sin(x), а откуда их взять?

(28 Янв '18 12:18) falcao

Просто интересно, как понять, что часть пределов, можно провести, к первому замечательному пределу, а остальные нет?!

(29 Янв '18 23:23) dimka11

@dimka11: то, что sin x ~ x (первый замечательный предел) -- это утверждение довольно слабое. Здесь нужна оценка x-sin(x) ~ x^3/6, которая прямо из предыдущего не следует. Где-то можно делать подстановки, и из sin^2(x/2) ~ x^2/4 через тригонометрию выводить 1-cos(x) ~ x^2/2. Но с кубами так уже не получится. Если взять формулу тройного угла, то с её помощью можно доказать, что ЕСЛИ предел существует, ТО он равен 1/6. Но само существование предела таким способом уже не доказать.

(30 Янв '18 0:50) falcao
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×691
×118

задан
27 Янв '18 0:53

показан
313 раз

обновлен
30 Янв '18 0:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru