На доске 7×7 часть клеток покрашена в чёрный цвет, а остальные — в белый. Известно, что в любом квадрате 2 на 2 содержится ровно три чёрные клетки. Каким может быть число чёрных клеток на всей доске? Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

задан 27 Янв '18 11:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем следить за белыми клетками. В квадрате 6x6, разбитом на 9 частей 2x2, их ровно 9. Значит, всего их не меньше 9. Далее, дополнение этого квадрата является "уголком" из строки и столбца. Удаление угловой клетки даёт две полоски 1x6, в каждой из которых не больше 3 белых клеток. Плюс одна удалённая -- итого не больше 7. Всего не больше 16.

Пример с 16 белыми клетками строится просто: белый цвет имеют клетки, у которых номера строк и столбцов нечётны. Покажем, как от этого количества перейти к примеру с 9 белыми клетками, где все промежуточные значения достигаются.

Рассмотрим одну из строк с 4 белыми клетками. Сделаем их чёрными, а оставшиеся клетки строки -- белыми. В каждом квадрате 2x2 по-прежнему будет находиться ровно одна белая клетка. Далее так же поступим со следующей строкой, и так с каждой из четырёх. От 16 белых клеток мы перейдём к примеру с 12. У нас образовалось 3 столбца (с чётными номерами), в каждом из которых по 4 белых клетки. Будем их последовательно перекрашивать по тому же принципу, как это делалось со строками. В итоге придём к примеру с 9 белыми клетками.

Таким образом, чёрных клеток может быть от 33 до 40.

ссылка

отвечен 27 Янв '18 17:18

@falcao, большое спасибо! Казвертеночка сообщила мне, что её компьютер, кажется, "Изя всё". А она не помнит ни пароль, ни логин от форума. Стало быть, канула в Лету. Или в Зиму.

(27 Янв '18 17:33) Пацнехенчик ...
1

@Пацнехенчик ...: а в чём проблема? Можно же завести новый аккаунт.

(27 Янв '18 20:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,336
×1,106
×304
×241
×149

задан
27 Янв '18 11:43

показан
408 раз

обновлен
27 Янв '18 20:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru