Найти все подкольца $%\mathbb R$%, являющиеся дискретными множествами.

Любое подкольцо должно содержать 1, а следовательно и $%\mathbb Z$%. Как доказать, что $%\mathbb Z$% - единственное подкольцо, удовлетворяющее условию?

задан 28 Янв '18 9:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь лучше рассматривать все подкольца, а не только подкольца с единицей. В таком виде получится более сильное утверждение.

Для подколец в $%\mathbb Z$% получаются все подкольца вида $%\mathbb nZ$%, где $%n\ge0$%. Теперь достаточно показать, что дискретное подкольцо в $%\mathbb R$% не может содержать иррациональных чисел, а также дробных рациональных.

Если $%\alpha > 0$% -- иррациональное число, то можно применить известную лемму о том, что дробные части вида $%\{n\alpha\}$%, где $%n\ge1$%, всюду плотны на отрезке $%[0,1]$%. Это легко доказывается с использованием принципа Дирихле. Тогда числа вида $%n\alpha-m$%, где $%m$% также натуральное, могут быть сколь угодно близки по модулю к нулю. После домножения на постоянное число $%\alpha$% мы получаем, что числа вида $%n\alpha^2-m\alpha$% также бывают сколь угодно близки к нулю. Если $%\alpha$% принадлежит подкольцу, то все такие числа тоже ему принадлежат, и это противоречит дискретности.

Теперь пусть подкольцо содержит дробное число. Можно тогда считать, что это число вида $%\alpha=\frac{m}n$%, где $%m$% и $%n$% -- взаимно простые натуральные числа, где $%n > 1$%. Для любого натурального $%k$%, числа $%m^k$% и $%n^k$% взаимно просты, поэтому существуют целые $%u$%, $%v$% такие, что $%m^ku+n^kv=1$%. Домножим это равенство на $%m$% и разделим на $%n^{k+1}$%. Получится, что $%u\alpha^{k+1}+v\alpha=\frac{m}{n^{k+1}}$%, что стремится к нулю при $%k\to\infty$%. Тогда $%\alpha$% не может принадлежать дискретному подкольцу, так как оно будет содержать сколь угодно близкие к нулю положительные числа.

ссылка

отвечен 28 Янв '18 14:07

Я думал, для колец с единицей подкольца по определению должны содержать 1.

(28 Янв '18 20:23) Slater

@Slater: это не так. Есть два термина: "подкольцо", и "подкольцо с единицей". Эти вещи принято различать. Например, нулевое подкольцо часто приходится рассматривать, хотя единицы там нет. Здесь более общий факт получается, если брать самый общий случай.

(28 Янв '18 20:36) falcao

А можно ли рассуждать так? Если дискретное подкольцо содержит $%q$%, то оно содержит его дробную часть $%\{q\}\in(0,1)$%, а тогда и $%\{q\}^n$% для любого натурального $%n$%. Но тогда 0 является предельной точкой и лежит в дискретном подколце, что противоречит дискретности.

(28 Янв '18 22:14) Slater

@Slater: для подколец с единицей именно такое рассуждение и надо применить. Но это совсем просто, почему я и рассмотрел более общий случай.

(28 Янв '18 22:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
28 Янв '18 9:01

показан
308 раз

обновлен
28 Янв '18 22:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru