Найти ортогональное дополнение в пространстве L_2[-1,1] для множеств $$A=\{x\in L_2[-1,1] : x(t)=0 \ \forall t\le0 \} \\B=\{x ∈ L_2[−1, 1] : \int_{-1}^0x(t)dt=\int_{0}^1x(t)dt\}$$ Как я понимаю для A это будет все L2, т.к скалярное произведение любого вектора из L2 на нулевой даст 0? А вот что делать для B?

задан 28 Янв '18 19:11

@Aqwer: в первом случае получатся функции, которые на [-1,0] любые, а на [0,1] нулевые. Во втором случае получится одномерное подпространство, порождённое функцией g(t)=signum(t), дающей знак числа t. Здесь B уже задано в виде, что скалярное произведение x(t) и g(t) равно нулю, поэтому два раза берётся ортогональное дополнение, и получается то, что было.

(28 Янв '18 19:41) falcao

@falcao а как во втором правильнее обосновать, что когда мы берем ортогональное дополнение к пространству порожденное функцией g(t), то получим именно B

(28 Янв '18 20:13) Aqwer

@Aqwer: это прямо следует из определения. Две функции ортогональны, если интеграл от их произведения равен нулю. Когда мы x(t) умножаем на g(t) и интегрируем, то получается сумма двух интегралов от функции x: по [0,1] со знаком "плюс", и по [-1,0] со знаком "минус". Это в точности означает, что два интеграла из условия равны.

Напомню, что g(t)=1 при t > 0, и g(t)=-1 при t < 0. Если в таком виде это себе представлять, то проверяемое утверждение должно быть очевидно.

(28 Янв '18 20:31) falcao

@falcao хорошо, спасибо

(28 Янв '18 20:35) Aqwer

@falcao А у меня такой вопрос, почему в первом случае получаются на [0,1] нулевые функции? т.е почему других не может быть

(3 Фев '18 18:06) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: допустим, что есть ненулевая. Тогда умножим её скалярно на такую же. То есть равную тому же самому на [0,1] и нулю на левой половине. Интеграл от квадрата функции равен нулю <=> сама функция равна нулю тождественно. С оговоркой, что это происходит на множестве "почти всюду", то есть всюду кроме точек множества нулевой меры.

Это стандартный ход мысли: (x,y)=0 для всех y => (x,x)=0 => x=0.

(3 Фев '18 20:58) falcao

@falcao Спасибо. А вообще, есть ли какой-то другой способ строить ортогональное дополнение? Кроме как просто рассматривать множество функции, скалярное произведение которых с функциями их исходного множества равно 0. И еще вопрос, ведь если мы возьмем ортогональное дополнение к ортогональному дополнению и получим исходное множество, то это автоматом означает что мы правильно нашли ортогональное дополнение? Ведь в любом гильбертовом пространстве выполняется это равенство(что 2 раза взятое ортогональное дополнение дает исходное множестве)

(4 Фев '18 1:02) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: ортогональность определяется через скалярное произведение, поэтому одно равносильно другому. Если скалярное произведение задано через интеграл, то всё равно надо как-то это дело использовать. В других пространствах скалярное произведение может иметь другой вид (например, с домножением функций на некую "весовую"), и тогда процедура несколько поменяется. Вообще, интеграл от произведения есть аналог суммы произведений координат.

Чисто логически, если мы из некого утверждения A вывели истину, это не означает истинность A. Это лишь косвенная проверка.

(4 Фев '18 1:46) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
28 Янв '18 19:11

показан
447 раз

обновлен
4 Фев '18 1:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru