Верно ли что $%\mathbb Q [\sqrt 2+ \sqrt 3]=\mathbb Q [\sqrt 2,\sqrt 3]$%?

Похожий вопрос был здесь math.hashcode.ru/questions/146627/ но в том случае речь шла о расширениях полей, а в данном случае элементами $%\mathbb Q [a]$% являются равен многочлены от $%a$% с рац. коэффициентами.

То есть трюк с $%\frac{1}{\sqrt 2+\sqrt 3}=-\sqrt 2+\sqrt 3$% не работает? (Т.к. $%\frac{1}{\sqrt 2+\sqrt 3}$% не обязан лежать в $%\mathbb Q [\sqrt 2+ \sqrt 3]$% т.к. это это не поле)

задан 28 Янв '18 23:26

То есть метод из процитированного вопроса не работает, и вместо него надо применить ровно то же, что и в случае $%\mathbb Z[\sqrt 2, \sqrt 3]$%?

(28 Янв '18 23:31) Slater

@Slater: здесь всё очевидно, то есть имеет место равенство. Оба кольца над Q являются полями. Как уже говорилось, при x=sqrt(3)+sqrt(2) выполнено равенство x^4-10x^2+1=0, поэтому x^{-1}=10x-x^3 принадлежит кольцу Q[x].

(29 Янв '18 0:08) falcao

А как увидеть, что $%\mathbb Q [\sqrt 2, \sqrt 3]$% - поле? Его элементы - многочлены от двух символов $%\sqrt 2, \sqrt 3$%, и не очень понятно, как в общем виде считать обратный элемент.

(29 Янв '18 0:28) Slater

@Slater: присоединение алгебраических элементов к полю всегда даёт поле. Это легко доказывается. Для sqrt(2) всё вообще тривиально: обратный элемент равен sqrt(2)/2.

Для общего случая доказательство такое. Пусть к Q присоединили корень x неприводимого многочлена f(x). Надо доказать, что Q[x] -- поле. Если g(x) -- элемент кольца Q[x], не равный нулю, то многочлены f(x) и g(x) взаимно просты. Тогда 1=f(x)u(x)+g(x)v(x) для некоторых многочленов. Отсюда 1/g(x)=v(x) принадлежит кольцу.

(29 Янв '18 0:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,519

задан
28 Янв '18 23:26

показан
356 раз

обновлен
29 Янв '18 0:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru