Пусть $%f: R^2\rightarrow R^2$% задано как $%(x,y)\mapsto ((1+y^2)e^x+e^y,(1+3x)e^{2y})$%. Используя лишь определение (второе отсюда), показать, что $%f'(0,0)$% - линейное преобразование с матрицей A= (1 1 // 3 2) [первая строка 1 1, вторая 3 2].

Указание. Воспользоваться формулой Тейлора.

При чем тут формула Тейлора, неизвестно.

У меня получилось при v=(h,k)

$%f(0+h,0+k)-f(0,0)=(e^k+e^h+k^2e^h-2,e^{2k}+3he^{2k}-1)$%

$%f(0+h,0+k)-f(0,0)-Av=(e^k+e^h+k^2e^h-2-h-k,e^{2k}+3he^{2k}-1-3h-2k)$%

Оба выражения выше стремятся к нулю при $%v\rightarrow 0$%.Но $%|v|$% которую надо добавить в знаменатель стремится к нулю тоже. Почему частное будет стремиться к нулю во втором выражении?

задан 29 Янв '18 2:20

изменен 29 Янв '18 2:37

В условии фигурирует странное число k в качестве параметра. Матрица будет такой, как указано, только при k=0. В общем случае она зависит от k. У Вас в вычислениях появляется k уже как бесконечно малое приращение, что влечёт дополнительную путаницу.

С формулой Тейлора всё крайне просто -- надо разложить экспоненты, оставив только линейные члены. Это обыкновенная линеаризация.

(29 Янв '18 2:30) falcao

Эту часть условия списал с f(0+h,0+k), сейчас исправил

И как формула Тейлора поможет?

(29 Янв '18 2:38) wart

@wart: e^x=1+x+o(x), e^y=1+y+o(y), e^{2y}=1+2y+o(y). Подставьте, и выделите линейную часть.

(29 Янв '18 3:15) falcao

Подставить в определение функции или в выражение для $%f(h,k)-f(0,0)$%? Судя по виду выражений, которые Вы написали, полагаю, в определение. Ну подставил, получилось $%(x,y)\mapsto (2+y^2+x+xy^2+o(x)+y^2o(x)+y+o(y),1+3x+2y+6xy+o(y)+3xo(y))$%, но я не понимаю общей стратегии. Моя стратегия была написать $%f(h,k)-f(0,0)-Av$%, разделить на $%|v|$% и доказать, что это стремится к нулю. А тут что делается?

(29 Янв '18 3:30) wart

@wart: надо выделить линейную часть, то есть (2+x+y,1+3x+2y). Поскольку f(0,0)=(2,1), разность составит (x+y,3x+2y) с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Скажем, o(x)=o(r cos ф)=o(r), а в разложении именно это и нужно. То есть будет f(x,y)=f(0,0)+Av+o(r) при r->0, где A=(1 1 // 3 2), v=(x,y)^T.

(29 Янв '18 15:00) falcao

В каком-то вопросе я сказал, что стараюсь не использовать о-терминологию, и это как раз по той причине, что мне непонятно, как можно просто взять и отбросить квадратичные члены, члены с о, а потом каким-то образом засунуть их в другое о... Поэтому я и начал с понятного мне определения без о

(29 Янв '18 21:46) wart

@wart: если есть какая-то удобная терминология и система обозначений, то лучше её освоить нежели отбрасывать. Здесь само определение так устроено, что там фигурирует o(r). Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) тоже в этих терминах записывается. То, что величины o(x) автоматически имеют вид o(r), следует из ограниченности косинуса, а также из утверждения о том, что произведение бесконечно малой на ограниченную бесконечно мало. И здесь выражения сложные, поэтому не тянуть же с собой весь "шлейф" оценок?

(29 Янв '18 22:10) falcao

То если выражение $%(2+y+x+xy^2+o(x)+y^2o(x)+y+o(y),1+3x+2y+6xy+o(y)+3xo(y))$% записывается в виде суммы $%(2+x+y,1+3x+2y)+(y^2+xy^2+o(x)+y^2o(x)+o(y),6xy+o(y)+3xo(y))$%, и потом оказывается что второе слагаемое - это o(r)? Почему так? И вообще, что такое r и откуда косинус? Откуда оно взялось (видимо, где-то были введены полярные координаты)? Формула вроде должна быть $%f(x,y)=f(0,0)+Av+o(|v|)$%. Почему $%(y^2+xy^2+o(x)+y^2o(x)+o(y),6xy+o(y)+3xo(y))=o(|v|)$%?

Все вопросы, кроме первого (с o(r) замененным на o(|v|)) и последнего можно считать риторическими.

(29 Янв '18 22:34) wart

@wart: обозначения r и ф для полярных координат стандартны. Я этого не пояснял по той же причине, по которой не говорил о том, что "штрих" обозначает производную :)

Для вектора v=(x,y) длина |v| равна sqrt(x^2+y^2), то есть это в точности r. То, что обе координаты "длинного" вектора равны o(r), очевидно. Это верно уже для координат x,y, а тем более верно для x^2, xy и т.п. А сумма o(r)+...+o(r) равна o(r) в силу простейших свойств о-символики. Это значит, что сумма бесконечно малых является бесконечно малой.

(30 Янв '18 0:46) falcao

Ну тогда если длинный вектор разделить на r, то он стремиться будет к (0,0), а o(r) при делении на r стремится к 0. Тут, наверное, еще какого-то шага не хватает, потому что (0,0) и 0 - элементы разных множеств и не могут быть равны.

Или lim o(r)/r - это тоже элемент R^2?

(30 Янв '18 5:00) wart

@wart: вектор стремится к нулю (по длине) тогда и только тогда, когда его координаты стремятся к нулю. После деления координат на r должен получиться вектор, стремящийся к нулю. Именно это и происходит.

(30 Янв '18 13:20) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
29 Янв '18 2:20

показан
270 раз

обновлен
30 Янв '18 13:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru