Пусть $%U$% - проколотая окрестность нуля в $%R^n$% и $%f: U\rightarrow R^m$%. Пусть $%\lim_{h \rightarrow 0}f(h)=a$%. Доказать что для любого $%h_0 \ne 0$% выполнено $%\lim_{t\rightarrow 0} f(th_0)=a$%. Верно ли обратное?

Заметим, что $%th_0 \rightarrow 0 \iff t\rightarrow 0$%. Применим $%\lim_{h\rightarrow 0}f(h)=a$% к $%h=th_0$%, получим $%a=\lim_{th_0\rightarrow 0}f(th_0)=\lim_{t\rightarrow 0}f(th_0)$%. Это так доказывается?

Обратное утверждение видимо неверно, но какой самый простой контрпример?

задан 29 Янв '18 2:36

изменен 29 Янв '18 2:42

Рассмотрим функцию f(x,y), равную 1 при y=x^2, где x не равно 0, и равную 0 во всех остальных точках. Предела при (x,y)->(0,0) не существует, так как в любой окрестности нуля есть точки параболы. С другой стороны, любая прямая, проходящая через ноль, пересекает эту параболу не более чем в одной дополнительной точке. Значит, вдоль этой прямой предел будет равен нулю.

(29 Янв '18 14:54) falcao

Спасибо. А доказательство в другую сторону так должно проходить как я написал?

(29 Янв '18 18:32) wart

@wart: ну, тут можно изложить на языке "эпсилон-дельта", если это зачем-нибудь нужно, но лично меня бы вполне устроил и такой уровень строгости рассуждения.

(29 Янв '18 21:06) falcao

Сейчас начал разбираться с контрпримером. Почему наличие точек параболы в любой окрестности нуля влечет отсутствие предела?

Что такое h_0 в данном случае? Прямая, проходящая через 0? При чем тут количество точек пересечения с параболой? В данном случае, поскольку это мне непонятно, попробую прибегнуть к языку "эпсилон-дельта": надо доказать $%|f(th_0)-0| < \epsilon$% при $%|t| < \delta$%, но не видно почему это так.

(29 Янв '18 21:30) wart

@wart: на точках параболы функция равна 1. Поскольку они содержатся в каждой проколотой окрестности, условие непрерывности нарушится для значения eps=1/2.

В качестве h0 берётся любая точка, отличная от начала координат. Через неё и O проходит прямая, на которой расположены точки вида th0. Значение функции в любой из этих точек равно нулю, кроме, возможно, одной. Тогда берём окрестность нуля, в которую эта исключительная точка не входит. Тогда f(th_0)=0 для всех |t| < delta.

Здесь надо геометрически всё представлять -- тогда будет очевидно.

(29 Янв '18 22:00) falcao

Так и не понял эту штуку про окрестность, но что если рассуждать так: при стремлении к нулю по параболе $%(x,x^2)$% предел $%f(x,x^2)$% равен 1, а при стремлении к нулю по прямой $%(x,y)$% предел равен 0?

Кстати, функция определена в $%(0,0)$%? Вроде бы по условию требуется чтобы не была определена.

(29 Янв '18 22:23) wart

@wart: в нуле функцию можно доопределить как угодно. Я в примере беру f(0,0)=0. То, что при стремлении по параболе предел равен 1, а по прямым будет 0, это само собой разумеется. С окрестностями всё понятно: парабола всегда пересекает круг с центром в нуле, и в окрестность попадают "плохие" точки. Но если мы задаём отдельное направление, то на нём есть только одна "плохая" точка (где функция равна 1). Ясно, что она отделяется окрестностью.

Здесь дана полная информация, и геометрически всё очевидно.

(30 Янв '18 0:57) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,617

задан
29 Янв '18 2:36

показан
252 раза

обновлен
30 Янв '18 0:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru