Пусть $%f(t)=t+2t^2\sin\frac{1}{t}$% при $%t\ne 0$% и $%f(0)=0$%

Доказать что $%f$% не инъективна ни в какой окрестности нуля

задан 29 Янв '18 3:02

изменен 29 Янв '18 7:58

В любой окрестности нуля можно выделить маленькие промежутки, на каждом из которых sin(1/t) принимает по разу все значения от -1 до 1. Сумма первых двух слагаемых очень мала, поэтому f(t) будет принимать значения от -1+eps до 1+eps для маленького eps. Понятно, что там в обоих случаях будет приниматься значение 0 в том числе.

(29 Янв '18 3:19) falcao

Извиняюсь, была опечатка, там не + а x

(29 Янв '18 7:59) wart

@wart: рассмотрим производную: f'(t)=1+4t sin(1/t)-2cos(1/t). Рассмотрим точки, в которых косинус равен 1 или -1. Синус тогда равен нулю, а производная равна -1 или 3 соответственно. Производная непрерывна, и она промежуточно обращается в ноль, где достигаются локальные экстремумы. За счёт этого инъективность отсутствует.

(29 Янв '18 14:51) falcao

Что значит "промежуточно" обращается в ноль? Почему она обращается в ноль в любой окрестности нуля?

(29 Янв '18 22:49) wart

@wart: если производная непрерывна, в одной точке равна -1, в другой точке равна 3, то между ними есть точка, где производная равна нулю. Это и значит "промежуточно".

Любая окрестность нуля содержит бесконечно много промежутков, для которых 1/x принадлежит [-п/2+2пk,п/2+2пk], где синус пробегается все значения от -1 до 1. Обратите внимание, что я это говорил в самом начале (в первом комментарии), и проверить это в состоянии каждый, кто знает, как ведёт себя синусоида.

(30 Янв '18 0:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
29 Янв '18 3:02

показан
220 раз

обновлен
30 Янв '18 0:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru