$%f: R^2\rightarrow R^2, f(0,0)=0, f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}, (x,y)\ne (0,0)$%

$%\gamma: R\rightarrow R^2$% - дифференцируема, $%\gamma(0)=(0,0), |\gamma'(0)|> 0$%

Доказать что $%g(t)=f(\gamma(t))$% дифференцируема на $%R$%. Также доказать что если $%\gamma \in C^1$%, то $%g\in C^1$%

Есть такое решение. Но желтые равенства совсем не понятны

alt text

задан 29 Янв '18 6:00

изменен 29 Янв '18 23:02

@wart: первый знак равенства получается из того, что a(t)=a(0)+ta'(0)+o(t), где a(0)=0. Одно заменили на другое. Это одно из определений производной, или частный случай формулы Тейлора. Ведь написано то, что (a(t)-a(0))/t стремится к a'(0), то есть разность стремится к нулю. Сказать, что нечто стремится к нулю -- то же самое, что сказать, что это o(1).

Второй знак равенства -- просто сокращение на t с учётом того, что o(t)=to(1). Формула для g(t) следует из формулы для производной сложной функции: g'(t)=(df/dx)(dx/dt)+(df/dy)(dy/dt). Частные производные находим по формулам, и подставляем.

(30 Янв '18 1:05) falcao

Теперь непонятна общая схема их доказательства. Они говорят: при t для которых (a(t),b(t)) не равно (0,0) g дифференцируема. Дальше логично было бы рассмотреть ВСЕ те t для которых (a(t),b(t))=(0,0). Но они рассматривают только частный случай t=0. Этого что ли достаточно?

В случае C^1 то же самое.

(30 Янв '18 5:19) wart

@wart: рассматривается случай произвольной точки, для которой (a,b)=(0,0). За счёт сдвига параметра, который ни на что не влияет, можно добиться того, чтобы точка t0 перешла в 0. Это не ограничивает общности, но упрощает вычисления.

(30 Янв '18 13:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
29 Янв '18 6:00

показан
387 раз

обновлен
30 Янв '18 13:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru