$%x^4-4x^3-10x^2+28x-11=0$% имеет корни $%x_1$%, $%x_2$%, $%x_3$%, $%x_4$%. Уравнение $%x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$% имеет корни $%x_1^2$%, $%x_2^2$%, $%x_3^2$%, $%x_4^2$%. Найти $%b$%. Корни все действительные. Вот такая задача.

задан 29 Янв '18 23:08

изменен 29 Янв '18 23:20

falcao's gravatar image


253k23650

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=x^4-4x^3-10x^2+28x-11$%. Рассмотрим произведение $%f(x)f(-x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x+x_1)(x+x_2)(x+x_3)(x+x_4)=$% $%(x^2-x_1^2)(x^2-x_2^2)(x^2-x_3^2)(x^2-x_4^2)=g(x^2)$%. Остаётся вычислить в явном виде произведение $%f(x)f(-x)=(x^4-4x^3-10x^2+28x-11)(x^4+4x^3-10x^2-28x-11)=$% $%(x^4-10x^2-11)^2-(4x^3-28x)^2=(y^2-10y-11)^2-16y(y-7)^2=$% $%y^4-36y^3+302y^2-564y+121$%, где $%y=x^2$%. Это многочлен $%g(y)$%, корнями которого являются $%x_i^2$% при $%1\le i\le4$%. Отсюда $%b=302$%.

Попутно можно отметить, что корни этих уравнений можно выразить в явном виде. Замена $%x=t+1$% делает первое уравнение биквадратным.

ссылка

отвечен 29 Янв '18 23:35

@falcao, cпасиб, я пошёл другим путем( теорема Вирта, симметрические многочлены). Замену ту я увидел( когда после безуспешных попыток в голову мысль стукнула- может там корни типа 1,2,3, нашёл их в программе и замена там сразу видна). Ответить что ли , или это может быть олимпиада- их сейчас немерено стало. В воскресенье с внуком для 6 класса решал олимпиаду центра Олехника. Для 6 класса решил, кроме одной . Она , конечно , решается легко, но системой, а они их не изучали ещё

(30 Янв '18 2:04) epimkin

@epimkin: с помощью теоремы Виета решается, наверное, даже быстрее. надо взять сумму попарных произведений x1x2+...; чему она равна, мы знаем. Возвести в квадрат, останется x1^2x^2+..., которое надо найти, плюс нечто, что также выражается через корни исходного многочлена.

(30 Янв '18 2:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,517

задан
29 Янв '18 23:08

показан
447 раз

обновлен
30 Янв '18 2:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru