|
У меня был "Вопрос о соизмеримости двух метрик" Вопрос, вероятно, очень спорный. И тем не менее, можно ли что-то определённое сказать об уравнении: $$(x-a)^{3} + (y - b)^{3} + (z - c)^{3} = (R - d)^{3}$$, Здесь: x, y, z - координаты, R, a, b, c, d - параметры. Если R = const, то при изменении координат будет ли результатом расчётов множество точек некоторой кубической поверхности? задан 21 Мар '13 20:21 
nikolaykruzh...
показано 5 из 16
показать еще 11
|
|
Это уравнение поверхности третьего порядка в трехмерной прямоугольной системе координат. Возможно, что ей можно дать название "кубическая поверхность".
$%x^3+y^3+z^3=24$% отвечен 21 Мар '13 21:02 
Anatoliy Красивая картинка. А что там в центре, какая-то "кочка"? Или это только кажется? Может, это часть поверхности, находящаяся в первом октанте?
(22 Мар '13 13:49)
DocentI
1
Скорее всего, это соответствует особой точке поверхности -- где все частные производные равны нулю. Там значение $%z$%, судя по всему, равно кубическому корню из $%24$%, то есть в сечении возникает прямая.
(22 Мар '13 14:23)
falcao
@Anatoliy! Вы - Шилов и восхищаете не только меня.
(23 Мар '13 18:30)
nikolaykruzh...
Не думаю, что заслуживаю такой оценки. Но, все же спасибо.
(23 Мар '13 18:45)
Anatoliy
Видимо, с центре виден тот выступ, который вписывается в восьмушку куба.
(23 Мар '13 19:12)
DocentI
Возможно, что это особенности среды построения поверхностей.
(23 Мар '13 19:56)
Anatoliy
Да нет, это важная часть поверхности
(23 Мар '13 19:58)
DocentI
показано 5 из 7
показать еще 2
|
А зачем здесь параметр $%d$%, и каков его смысл? Для чисел $%a,b,c$% всё понятно: это координаты центра "сферы". А число $%d$% ничего собой не выражает. Поэтому его удобно считать равным нулю, и тогда $%R$% -- просто радиус. Далее, если сферу соотносить с метрикой, то числа, возводимые в куб, должны рассматриваться по модулю. Уравнения без модуля тоже правомерно рассматривать, и у них есть преимущество в том, что функции получаются дифференцируемые, но это тогда уже не будет аналогом сферы. А то, что получится именно кубическая (т.е. для степени три) поверхность -- это ясно из определения.
@falcao! Параметр d я ввёл чисто автоматически (из симметрии к левой части уравнения), - ни к селу ни к городу, если смотреть по сути. Хорошо, что Вы приняли его равным нулю. Кубический корень может иметь 1)три действительных значения, 2)одно действительное и два мнимых, 3) два действительных (если дискриминант равен 0). Если Вы рассматриваете уравнения (числа) по модулю, как это отразится на системе координат (только первый октант?)? Кстати, весьма положительная оценка Вашей теоретической базы позволяет мне задать попутный вопрос: изображение, данное @Anatoliy, - это по модулю или без?
Изображение иллюстрирует трёхмерный график уравнения, в котором сумма кубов равна $%24$%. Модулей там нет. Я о них упомянул только в связи с тем, что без участия модулей нельзя говорить о "расстоянии" или "метрике" (то и другое -- синонимы). Одной из аксиом расстояния является тот факт, что две точки находятся на расстоянии $%0$% тогда и только тогда, когда они совпадают. Уравнение $%x^2+y^2+z^2=0$% имеет только нулевое решение, и в этом случае возникает метрика. Для суммы кубов это уже не так. И тогда можно в лучшем случае говорить об "аналоге расстояния".
Точнее, метрика - это вся совокупность расстояний (способ подсчета расстояний). Она должна удовлетворять определенным свойствам.
Если в каком-либо уравнении заменить x на |x|, его "отрицательная" часть пропадет, а "положительная" удвоится, отразится относительно оси Oy.
Возможно, это утверждение слишком категорично, чтобы быть верным. Существует целая теория пространств с индефинитной метрикой. Скорее всего, не она имелась в виду автором данного конкретного вопроса, но она не менее содержательна, чем дефинитный случай. Интересные построения возникают при факторизации по нейтральному подпространству (множеству всех векторов, длина которых равна нулю).
@DocentI: я здесь исходил из формального понимания -- не в смысле расстояния между точками (здесь уже не скажешь "метрика между точками"), а в смысле функции "расстояние", определённой на декартовом квадрате множества.
Уравнение с модулями $${\mid x-a \mid} ^3 + {\mid y-b \mid} ^3 + {\mid z-c \mid} ^3 = R^3$$ в данном случае тоже будет задавать дифференцируемую функцию.
Уравнением $${\mid x-a \mid} ^3 + {\mid y-b \mid} ^3 + {\mid z-c \mid} ^3 = R^3$$ будет описываться поверхность, которую можно себе представить, если представить сферу, заключённую в жёсткий куб $$\mid x-a \mid \leq R, \mid y-b \mid \leq R, \mid z-c \mid \leq R$$ и несколько "раздутую". Аналогично будет выглядеть поверхность, задаваемая уравнением $${\mid x-a \mid} ^n + {\mid y-b \mid} ^n + {\mid z-c \mid} ^n = R^n,$$ где $%n > 3. $% Параметр $%n$% будет характеризовать меру "раздутия", причём при $%n \to \infty$% поверхность будет приближаться к поверхности куба.
Наглядная иллюстрация в аналогичном двумерном случае - http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+|x|^3%2B|y|^3%3D1%2C+|x|^100%2B|y|^100%3D1
@splen: я знаю, что рассматриваются разного вида "метрики", но они не задают метрического пространства. Насчёт дифференцируемости: тут Вы правы. Однако трудности могут возникать с применением аналитических формул, а также при кратном дифференцировании.
@splen! Кругоида при x, стремящемся к бесконечности, не раздувается до контура квадрата, а принимает вид чечевицеобразной фигуры. Так что Ваше утверждение - спорно. Даже - несмотря на ссылку.
Кругоида тут ни при чем, там другие величины участвуют в уравнении. В данном случае действительно получается квазикуб.
При a = 0, b = 0, c = 0, z = 0, R = const, n стремится к бесконечности - возникает уравнение гиперкругоиды (две дуги окружности). Величины все те же самые, которые рассматриваются в этой задаче. Мне непонятно, откуда тут выплывает квазикуб в том случае, если добавляется третья координата z. Из общего (3 координаты)переход к частному (2 координаты) не получается: из квазикуба, в данном случае, невозможен переход к гиперкругоиде (если не использовать топологию). Значит, где-то что-то не оттуда и никак.
В кругоиде, насколько я помню, используются расстояния до точки, а не декартовы координаты.
Ну да, конечно. Если рассматривать движущуюся в пространстве точку, координаты до которой определяются расстоянием от некоторых трёх фиксированных точек, причём площадь грани между двумя "расстояниями" не превышает площадь основания этого трёхгранника, тогда при n, стремящемся к бесконечности, возникнет гиперсфероид, который никак не связан с квазикубом, потому что квазикуб - это результат манипуляций с координатами в прямоугольной декартовой системе координат. Спасибо Вам за уточнение. Я снимаю своё замечание, обращённое к @splen, потому что оно - не по существу обсуждаемого вопроса