Верно ли что если отображение $%R^n\rightarrow R^n$% является локальным диффеоморфизмом в каждой точке, то оно является диффеоморфизмом?

задан 30 Янв '18 1:04

изменен 30 Янв '18 1:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

При $%n=1$% ответ положительный, так как локальный диффеоморфизм означает локальную монотонность. Понятно, что характер этой монотонности не может меняться от точки к точке из соображений непрерывности. Значит, функция всюду будет монотонной, и это даст диффеоморфизм $%\mathbb R$% на открытое подмножество в $%\mathbb R$%.

При $%n\ge2$% строится контрпример. Достаточно рассмотреть случай $%n=2$%. Для начала плоскость отображаем диффеоморфно на правую открытую полуплоскость $%x > 0$% посредством отображения $%(x,y)\to(e^x,y)$%. Далее к полуплоскости применим комплексное возведение в 4-ю степень. Это будет локальный диффеоморфизм, так как комплексное возведение в квадрат задаётся формулами $%(x,y)\to(x^2-y^2,2xy)$%. Якобиан равен $%4(x^2+y^2) > 0$%, и остаётся применить теорему о локальном диффеоморфизме. Возведение в квадрат применяем дважды, а при композиции свойство локального диффеоморфизма сохранятся.

Получится отображение плоскости в себя, локально диффеоморфное в каждой точке. Оно при этом не будет инъекцией, так как $%(0,1)$% и $%(0,-1)$% образы совпадают.

ссылка

отвечен 30 Янв '18 2:47

У меня что-то не получается увидеть, что образы совпадают

$%(0,1)\mapsto (1,1)\mapsto (0,2)\mapsto (-4,4)$%

$%(0,-1)\mapsto (1,-1)\mapsto (0,-2)\mapsto (-4,-4)$%

Под "теоремой о локальном диффеоморфизме" имеется в виду теорема об обратной функции?

(30 Янв '18 8:19) wart

@wart: образом (0,2), как и образом (0,-2), является пара (-4,0). Вторая координата равна 2xy=0 при x=0.

У нас в курсе анализа, когда я учился, была теорема под таким названием. Она так и называлась: "теорема о локальном диффеоморфизме". Требовалось, чтобы якобиан в точке не равнялся нулю. Теорема об обратной функции -- это близкая вещь, но не совсем то же самое. В других курсах формулировки могут несколько отличаться, но суть та же.

(30 Янв '18 12:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
30 Янв '18 1:04

показан
550 раз

обновлен
30 Янв '18 12:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru