Доказать, что $%R\rightarrow S^1, t\mapsto (\cos2\pi t,\sin 2\pi t)$% - локальный диффеоморфизм

задан 30 Янв '18 2:46

Это достаточно очевидно. Достаточно каждую точку прямой окружить открытой окрестностью радиуса 1 (или меньше). Получится биекция на образ, а координатные отображения дифференцируемы вместе с их обратными. То есть это лёгкая проверка основных свойств.

(30 Янв '18 2:49) falcao

Если взять окрестность нуля, то -1/2 и 1/2 вроде переходят в одну и ту же точку $%(-1,0)$%

(30 Янв '18 3:11) wart

Да и в общем случае (для t не равного нулю) непонятно почему будет инъективность и сюръективность ограниченного отображения.

Обратное будет задаваться той же формулой только с обращенной стрелочкой?

(30 Янв '18 8:24) wart

@wart: окрестность открытая, поэтому концевые точки не войдут. На худой конец, радиус окрестности можно уменьшить до 1/2. Биективность очевидна из соображений геометрии. Косинус и синус -- это абсцисса и ордината точки единичной окружности. Если берётся дуга, то на ней параметризация однозначна с точностью до периода.

Обратное отображение задаётся через аркфункции. Поэтому всё будет дифференцируемо.

(30 Янв '18 12:45) falcao

Как обратное отображение явно задать? Непонятно как из двух координат аркфункциями сделать одну

(31 Янв '18 6:15) wart

@wart: достаточно восстановить значение t. Если дуга имеет небольшую длину, то в зависимости от её расположения, угол однозначно восстанавливается или через арккосинус, или через арксинус. Поэтому локально всё задаётся.

(31 Янв '18 9:34) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,615

задан
30 Янв '18 2:46

показан
247 раз

обновлен
31 Янв '18 9:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru