Функция f(x) получена операцией примитивной рекурсии из константы С и функции h(x,y) . Вычислить f (A), если C=10, h(x,y)=x+3y. Как решить задачу, помогите разобраться.

Сначала надо найти f(x) Считаю так:
f(0)=C

f(y+1)=h(y,f(y))

Из второго правила последовательно имеем

f(1)=h(0,f(0))=h(0,C)=3C

f(2)=h(1,f(1))=h(1,C)=1+9C

f(3)=h(2,f(2))=h(2,1+9C)=5+27C

f(4)=h(3,f(3))=h(3,5+27C)=18C+81C
Дальше не получается подобрать функцию. Понимаю, что должно выглядеть примерно так:
f(x) = ... + C*3^x
Подскажите, как получить полную функцию?

задан 30 Янв '18 20:08

изменен 30 Янв '18 20:20

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нужно найти закономерность в последовательности $%0$%, $%1$%, $%5$%, $%18$%, ... . Обозначим её члены через $%a_0$%, $%a_1$%, ... и так далее. Тогда рекуррентная формула имеет вид $%a_n=3a_{n-1}+n$% при $%n\ge1$%. Это значит, что $%a_n=n+3(n-1)+3^2(n-2)+\cdots+3^{n-1}\cdot1$%, если всё последовательно "развернуть".

Сумма имеет вид $%a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}3^k(n-k)=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}3^k-\sum\limits_{k=0}^{n-1}k3^k$%. По формуле суммы членов геометрической прогрессии, $%\sum\limits_{k=0}^{n-1}3^k=1+3+\cdots+3^{n-1}=\frac{3^n-1}2$%. Эта величина далее умножается на $%n$%. Что касается вычитаемого, то есть второй суммы, то она равна $%(3^1+3^2+\cdots+3^{n-1})+(3^2+\cdots+3^{n-1})+\cdots+(3^{n-2}+3^{n-1})+3^{n-1}$%. Применяя ту же формулу, получаем $%\frac{3^n-3^1}2+\frac{3^n-3^2}2+\cdots+\frac{3^n-3^{n-1}}2=3^n\cdot\frac{n-1}2-\frac{3^n-3}4$%. Окончательно это даёт $%a_n=n\cdot\frac{3^n-1}2-3^n\cdot\frac{n-1}2+\frac{3^n-3}4=\frac{3^{n+1}-2n-3}4$%.

Для функции получается ответ $%f(x)=\frac{3^x-2x-1}4+C\cdot3^x$% при $%x\ge0$%.

ссылка

отвечен 30 Янв '18 21:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×889
×415

задан
30 Янв '18 20:08

показан
644 раза

обновлен
30 Янв '18 21:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru