Рассмотрим отображение $%G: R^2\rightarrow (S^1)^2, (t,s)\mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t,\cos 2\pi s, \sin 2\pi s)$%. Пусть $%L$% - прямая в $%R^2$%.

Доказать

  • дифференциал ограничения $%G: L\rightarrow (S^1)^2$% инъективен
  • если наклон $%L$% иррационален, то $%G$% инъективна на $%L$%

Ну вот допустим прямая $%y=ax+b, a\in R$%

Тогда ограничение задается так $%(x,ax+b)\mapsto (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x, \cos 2\pi (ax+b), \sin 2\pi (ax+b))$%

Как найти матрицу Якоби этого отображения? То есть как дифференцировать по переменной $%ax+b$%?

задан 31 Янв '18 0:31

изменен 31 Янв '18 22:50

@wart: я здесь не понимаю самой постановки задачи. Дифференциал определяется для каждой точки. Что такое дифференциал всего отображения, непонятно. Далее, это понятие задаётся для отображений арифметических пространств. Тогда прямую L должен параметризовать сам читатель, что не очень хорошо, так как приходится приспособлять понятия. Наконец, я не понимаю, откуда в общем случае возьмётся инъективность. Прямая на торе может "наматываться" сама на себя. В общем, сплошные "загадки"...

(1 Фев '18 0:58) falcao

Имеется в виду дифференциал ограничения в каждой точке инъективен.

С инъективностью ограничения кажется разобрался: если образы $%(x,ax+b)$% и $%(x',ax'+b')$% совпадают, то $%\cos 2\pi a x=\cos 2\pi ax'\implies 2\pi a x- 2\pi a x' \in 2\pi \mathbb Z \implies a(x-x')\in \mathbb Z \implies x=x'$% т.к. а иррационально

А для проверки инъективности дифференциала в каждой точке хотел выписать матрицу Якоби ограничения, но непонятно, как это сделать

(1 Фев '18 1:21) wart

@wart: а почему $%a$% иррационально? Где это дано?

Прямую, как уже говорилось, надо параметризовать, то есть рассматривать отображение из R в тор, которое переводит x сначала в (x,ax+b), а потом по формулам. Матрица Якоби получится из одной строки (или столбца) в виде производных координат по x.

(1 Фев '18 1:57) falcao

Из условия - "Если наклон L иррационален, то G инъективна на L"

Но ведь ограничение - это отображение из R^2 в R^4, матрица Якоби должна быть 4 на 2.

(1 Фев '18 2:10) wart

@wart: условие иррациональности у Вас идёт отдельно, вторым пунктом. Если это в самом деле так, то первый пункт надо доказывать без дополнительного предположения. Но я не знаю, что было в оригинале.

Само отображение действует из R^2 в тор (строго говоря, не в R^4), но ограничение берётся на прямую. То есть получается отображение из R в тор.

Я думаю, тут суть задачи простая, и проблема только в неудачных формулировках.

(1 Фев '18 2:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
31 Янв '18 0:31

показан
243 раза

обновлен
1 Фев '18 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru