Доказать, что локально связное пространство гомеоморфно дизъюнктному объединению своих связных компонент. Скажите, пожалуйста, как вообще решать подобного рода задачи, где нам даны не привычные открытые в R множества, а непонятные открытые в какой-то топологии?

задан 31 Янв '18 0:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Надо опираться на общетопологические понятия -- аксиомы и определения.

Для начала вспомним, что такое связная компонента точки пространства. Рассматриваем все связные подпространства, содержащие точку x. Они всегда есть -- например, {x}. Берём их объединение. Проверяем, что оно связно. Это нетрудно: если бы объединение можно было разбить на два открытых непустых множества, то каждый член объединения входил бы целиком туда или сюда. Но это невозможно из-за наличия общей точки x.

Таким образом, рассматривается максимальное связное подмножество (подпространство), содержащее фиксированную точку.

Полезно привести пример. Рассмотрим пространство Q (рациональных чисел) с индуцированной топологией вещественной прямой. Связные компоненты здесь одноточечны. В самом деле, две различные рациональные точки не могут принадлежать связному подмножеству, так как можно рассмотреть иррациональное число a между x и y, и сделать "разрез" на два открытых множества чисел < a и чисел > a.

Теперь надо вспомнить, как выглядит топология дизъюнктного объединения пространств. Там в каждой компоненте берётся открытое (в этой компоненте) множество, и рассматривается объединение. Всякое открытое подмножество подпространства Y будет пересечением какого-то открытого в пространстве X множества с Y. Отсюда следует, что все множества, открытые в X, останутся открытыми в пространстве с новой топологией дизъюнктного объединения, но обратное в общем случае уже неверно. Так, в рассматриваемом примере у нас получается дизъюнктное объединение точек, каждая из которых стала открытой как множество.

Теперь надо использовать условие локальное связности (любая окрестность точки содержит некоторую связную окрестность этой же точки). Из этого условия надо вывести то, что запас открытых множеств при переходе к дизъюнктному объединению не пополнится. Этого достаточно, так как тождественное отображение двух множеств даст гомеоморфизм.

Итак, рассматриваем множество, открытое в дизъюнктном объединении. Оно будет объединением открытых множеств по отдельным компонентам. Достаточно рассмотреть компоненту связности Y и проверить, что множество, открытое в Y, открыто в X. Само это открытое множество будет пересечением некоторого открытого в X множества U с компонентой Y. Мы хотим доказать, что оно открыто в X. Берём точку y из Y, принадлежащую U. Ввиду локальной связности X, имеется связная открытая в X окрестность V точки y, содержащаяся в U. Будучи связной и содержащей y, эта окрестность целиком лежит в связной компоненте точки y, то есть в Y. Это множество V, открытое в X, содержится в пересечении U и Y, то есть того множества, про которое надо было проверить, что оно открыто в X, что в итоге и было сделано.

ссылка

отвечен 1 Фев '18 2:10

@falcao, спасибо большое!

(1 Фев '18 2:50) Konon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×339

задан
31 Янв '18 0:41

показан
470 раз

обновлен
1 Фев '18 2:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru