Натуральное число составлено из цифр 1, 3, 7 и 9, причём каждая из этих цифр использована по крайней мере 1 раз. Докажите, что цифры этого числа можно переставить таким образом, чтобы полученное число делилось на 7.

задан 1 Фев '18 10:51

10|600 символов нужно символов осталось
3

Исходное число не обязательно должно включать в себя только цифры $%\{1,3,7,9\}$%, оно может включать любые цифры и в любом количестве, важно лишь, что каждая из этих цифр $%\{1,3,7,9\}$% входит по крайней мере один раз.

Пусть $%a=\overline{a_n\cdots a_4****}$% есть десятичная запись числа, полученного из исходного числа посредством некоторого (произвольного) вычеркивания ровно одной копии каждой из цифр $%\{1,3,7,9\}$%, а звездочки суть "вакантные" места, на которые мы собираемся поставить цифры $%1$%, $%3$%, $%7$% и $%9$%, так, чтобы получилось $%a=0\pmod{7}$%.

Заметим, что: $$1379=0\pmod{7};$$ $$9731=1\pmod{7};$$ $$3971=2\pmod{7};$$ $$1739=3\pmod{7};$$ $$1397=4\pmod{7};$$ $$3197=5\pmod{7};$$ $$1973=6\pmod{7}.$$

Значит, если $%\overline{a_n\cdots a_40000}=r\pmod{7}$%, то достаточно выбрать из приведенного выше списка число, сравнимое с $%-r$% по модулю $%7$%.

ссылка

отвечен 1 Фев '18 13:39

изменен 1 Фев '18 13:40

1

Я примерно также решал, ставя 4 цифры в конец. Для случая 1(379) в перестановке, все 6 остатков разные, а седьмой отдельно подбирается.

(1 Фев '18 21:14) falcao

@Sunbro, большое спасибо!

(1 Фев '18 23:38) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,066
×1,035
×271
×188
×147

задан
1 Фев '18 10:51

показан
322 раза

обновлен
1 Фев '18 23:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru