Я учусь решать задачи с пределами функции через эпсилон-дельта определение. В данном решение у меня не совпал ответ с ответом из задачника (дельта <= 4/51). Подскажите, где у меня ошибка в решении, а также скажите, верны ли в общем ход решения и его оформление?

Задача: Определить, при каких положительных значениях $$\delta$$ из неравенства $$0 < \mid x - x_{0} \mid < \delta$$ следует неравенство $$\mid f(x) - a \mid < \varepsilon$$, если: $$f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2-2x-3}, x_{0} = 3, a = \frac{1}{2}, \varepsilon = 0,01$$

Решение: $$\lim_{x \rightarrow \infty }f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2-2x-3} = \frac{1}{2}$$

Требуется найти такие значения $$\delta > 0$$ для $$\varepsilon =0,01$$, что из неравенства $$0< \mid x - 3 \mid < \delta$$ следует неравенство $$\mid \frac{x^2-4x+3}{x^2-2x-3} \mid < 0,01$$

Преобразуем последнее неравенство:

$$\mid \frac{x^2-4x+3}{x^2-2x-3} \mid < \frac{1}{100}$$

$$\mid \frac{(x-1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} - \frac{1}{2} \mid < \frac{1}{100}$$

$$\mid \frac{x-1}{x+1} - \frac{1}{2} \mid <\frac{1}{100}$$

$$\mid \frac{x-3}{2x+2} \mid <\frac{1}{100}$$

$$\mid x-3 \mid < \frac{2x + 2}{100}$$

Вывод:Из неравенства $$0< \mid x - 3 \mid < \delta$$ следует неравенство $$\mid x-3 \mid < \frac{2x + 2}{100}$$, значит искомое значение $$\delta < \frac{2x + 2}{100} = 0, 8$$

задан 1 Фев '18 13:35

@notanton25: Вы подставили x=3 в выражение, но тогда должно получиться не 0,8, а 0,08, то есть 4/50. Поскольку х не равно 3, а всего лишь близко к 3, эту величину надо немного уменьшить. А этом качестве подходит 4/51 из ответа.

(1 Фев '18 21:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619
×743

задан
1 Фев '18 13:35

показан
1567 раз

обновлен
1 Фев '18 21:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru