$%f(x,y)=\sin y \times xe^{-x}e^{-y}, R^2_+=\{(x,y) \in R^2 |x\ge 0, y\ge 0\}$%

Доказать что существует $%M$%:

$%|f(x,y)-f(r,s)|\le M |(x,y)-(r,s)|$% $%\forall (x,y),(r,s)\in R^2_+$%

задан 2 Фев '18 5:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Может есть способ покороче... но можно же оценить в лоб, используя группировку как при доказательстве формулы производная произведения или предел произведения...

Функция имеет вид $%f(x;y)=A(x)\cdot B(y)$%... тогда $$ |f_2-f_1| = |A_1\cdot B_1 - A_2\cdot B_2| = |(A_1-A_2)\cdot B_1 + A_2\cdot (B_1-B_2)| \le $$ $$ \le |A_1-A_2|\cdot |B_1| + |A_2|\cdot |B_1-B_2|
$$ Далее используете ограниченность каждого множителя, то есть $%|A|\le M_A$% и $%|B| \le M_B$% ... и липшицевость этих функций, что следует из ограниченность производных, то есть $%|A_1-A_2|\le C_A\cdot |x_1-x_2|$% и $%|B_1-B_2|\le C_B\cdot |y_1-y_2|$% ... получаете $$ |f_2-f_1| \le C_A\cdot |x_1 - x_2| \cdot M_B + M_A\cdot C_B\cdot |y_1-y_2| \le $$ $$ \le \Big(C_A\cdot M_B + M_A\cdot C_B\Big)\cdot \sqrt{|x_1 - x_2|^2+|y_1-y_2|^2} $$

ссылка

отвечен 2 Фев '18 5:37

Почему $%|A_1-A_2|\le C_A |x_1-x_2|$%? Если применять теорему Лагранжа, получается $%|xe^{-x}-re^{-r}|=|e^{-\xi}(1-\xi)||x-r|$%. Почему $%|e^{-\xi}(1-\xi)|< C_A$%? То же самое с $%C_B$%: $%|e^{-y}\sin y -e^{s} \sin s|=|e^{-\eta}(\cos \eta - \sin \eta)||y-s|$%.

(3 Фев '18 0:01) wart

Ну, степени обеих экспонент имеет знак минус... то есть в первой четверти обе функции (и их производные) имеют максимум модуля...

(3 Фев '18 0:28) all_exist

А, я забыл, что мы в первой четверти.. Можно это интерпретировать так, что e^-x стремится к нулю, поэтому модуль ограничен? Или Вы это же и имели в виду?

(3 Фев '18 0:32) wart
1

ну, стремление к нулю подразумевается к использованию... но тут тупо в лоб максимум производной найти можно... а при желании можно скомбинировать с теоремой Вейерштрасса...

(3 Фев '18 0:36) all_exist

Какую именно теорему Вейерштрасса?

И самое последнее неравенство типа очевидно? Я в него верю только после возведения обеих частей в квадрат и проведения кучи вычислений

(3 Фев '18 22:04) wart
1

Какую именно теорему Вейерштрасса? - вторую... о наибольшем и наименьшем значении функции...

И самое последнее неравенство типа очевидно? - типа да... $%|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$%...

(3 Фев '18 22:11) all_exist

Во второй теореме Вейерштрасса нужна ограниченность множества, а множество x>=0 не ограничено. Но вроде бы и без этой теоремы можно обойтись

И еще непонятно всё равно как доказать ограниченность $%e^{-x}(\cos x- \sin x)$% и $%e^{-x}\sin x$%. У их производных бесконечное число нулей

(4 Фев '18 0:17) wart

Во второй теореме Вейерштрасса нужна ограниченность множества - я же говорил, что "скомбинировать"... функция стремится к нулю, то есть в окрестности бесконечности она мала... а на остальном куске оси применяем теорему Вейерштрасса... Вот и ответ на то, И еще непонятно всё равно как доказать ограниченность ...

Хотя тут уже мне не понятно... фраза вроде бы и без этой теоремы можно обойтись и фраза непонятно всё равно как доказать ограниченность как коррелируют между собой?...

(4 Фев '18 0:30) all_exist

Я имел в виду что для части без синусов теорема Вейерштрасса вроде не понадобилась

Для доказания ограниченности $%xe^{-x}$% и ее производной

(4 Фев '18 0:50) wart

а чем Вам так синусы не угодили?... ограниченная функция ... тут даже всё очевидней чем с иксом... тупо экспонентой сверху оценивается...

(4 Фев '18 0:52) all_exist
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
2 Фев '18 5:02

показан
358 раз

обновлен
4 Фев '18 0:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru