$%f: R^2\rightarrow R^2$% отображение класса $%C^1, f^{-1}(y)$% конечно для любого $%y$%. Доказать что $%\det df_x$% не может быть равен нулю на открытом подмножестве $%R^2$%

задан 2 Фев 7:06

ну, от противного...

допустили, что равно... следовательно, в окрестности точки функция постоянна... обратного отображения не существует...

(2 Фев 7:36) all_exist

А почему обратное должно существовать?

(2 Фев 20:44) wart

а условие $%f^{-1}(y)$% конечно для любого $%y$% - это о чём?...

(2 Фев 21:00) all_exist

@all_exist: тут не предполагается наличие обратного отображения. Под f^{-1}(y) понимается прообраз точки y. Но, поскольку он конечен, то функция не может быть постоянна в окрестности.

(2 Фев 21:39) falcao

@falcao, нуууу... видимо я слишком не привык к таким обозначениям... (((

(2 Фев 21:51) all_exist

Я знаю только что если дифференциал нулевой на выпуклом множестве, то функция постоянна. А если множество имеет форму кольца?

(2 Фев 21:55) wart

@wart: множество открыто, точка окружается диском. А он выпуклый.

(2 Фев 21:57) falcao

@all_exist: обозначение f^{-1} для прообраза встречается сплошь и рядом, когда говорят про отображения. Например, есть серия упражнений типа того, что f^{-1}(A U B)=f^{-1}(A) U f^{-1}(B). То же для пересечений и прочего. А для образов аналогичные утверждения уже не всегда могут быть верны.

(2 Фев 22:01) falcao

То есть полное решение выглядит так? Пусть df_x=0 на открытом подмножестве R^2. Возьмем точку x_0 из этого множества. f постоянно в окрестности этой точки, поэтому f^{-1}(f(x_0)) не может быть конечно.

Как тут используется точка х, в которой дифференциал равен нулю?

(2 Фев 22:07) wart

@wart: дифференциал равен нулю не только в точке, а на всём диске. Отсюда по доказанной ранее лемме следует постоянство. Точка нужна только для использования определения открытого множества и выделения диска.

(2 Фев 22:09) falcao

Почему дифференциал равен нулю? Предположение от противного заключается в том, что определитель дифференциала равен нулю, но дифференциал-то не обязан из за этого быть нулевым?

(9 Авг 19:50) curl
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,672

задан
2 Фев 7:06

показан
128 раз

обновлен
9 Авг 19:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru