Ярдена хочет разбить множество всех натуральных чисел, больших 1, на два класса - хорошие и плохие - так, чтобы произведение любых двух хороших чисел было плохим, а произведение любых двух плохих чисел было хорошим. Сможет ли она это сделать?

задан 2 Фев 12:15

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нет, не сможет.

Хотя бы одно хорошее число заведомо имеется (если все числа плохие, то произведение любых двух из них -- хорошее, что даёт противоречие). Рассмотрим произвольное хорошее число a. Тогда a^2 плохое, откуда a^4 хорошее, и тогда a^5=aa^4 плохое. Получается, что a^3 некуда поместить: оно не может быть хорошим, так как в противном случае aa^3=a^4 плохое, и не может быть плохим, так как это даёт, что a^2a^3=a^5 хорошее.

Более интересный вариант получается, если чуть ослабить условие, требуя, чтобы произведение любых двух различных хороших было плохим, а произведение любых двух различных плохих было хорошим. В этом случае рассмотрение небольшого числа вариантов также ведёт к выводу о невозможности такого разбиения.

ссылка

отвечен 2 Фев 15:01

@falcao, большое спасибо!

(2 Фев 18:56) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: можно добавить ещё, что даже если разбиение осуществлять не на 2 части, а на любое конечное число частей, то всё равно окажется, что сумма некоторых двух элементов одной части принадлежит той же самой части. Это следует из соображений теоремы Рамсея. Этими средствами можно даже строить примеры бесконечных подмножеств.

(2 Фев 19:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×454
×424
×22
×13
×8

задан
2 Фев 12:15

показан
68 раз

обновлен
2 Фев 19:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru