Известно, что $%\frac a{b+c-3a}=\frac b{a+c-3b}=\frac c{a+b-3c}$%. Найдите все возможные различные значения выражения $%\frac {2b}a+\frac {2c}a+\frac {3a}b+\frac {3c}b$%.

задан 2 Фев '18 18:46

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим $%b/a = x$%, $%c/a = y$%. Тогда уравнение $$ \frac{a}{b + c - 3a} = \frac{b}{a + c - 3b} $$ перепишется в виде $$ \frac{1}{x + y - 3} = \frac{x}{1 + y - 3x} \Rightarrow 1 + y - 3x = x^2 + xy - 3x \Leftrightarrow x^2 - 1 + y(x - 1) = 0, $$ откуда $%x = 1$% или $%x + 1 + y = 0$%.

Второе уравнение тоже переписывается в виде $$ \frac{x}{1 + y - 3x} = \frac{y}{1 + x - 3y} $$ Подставляете и находите $%y$%. То, что надо найти, переписывается в виде $$ 2x + 2y + \frac{3}{x} + 3\frac{y}{x} $$

ссылка

отвечен 2 Фев '18 19:09

Если $%a+b+c\ne0$%. то воспользуемся свойствами дробей: $$\frac a{b+c-3a}=\frac b{a+c-3b}=\frac c{a+b-3c}=\frac{a+b+c}{-a-b-c}=-1,$$ $$-1=\frac b{a+c-3b}=\frac c{a+b-3c}=\frac{b+c}{2(a-(b+c))},$$ $$b+c=2a\text{, аналогично }a+c=2b,$$ $$\frac{2b}a+\frac{2c}a+\frac{3a}b+\frac{3c}b=4+6=10.$$ Если $%a+b+c=0$%. то $$\frac{2b}a+\frac{2c}a+\frac{3a}b+\frac{3c}b=\frac{2(b+c)}a+\frac{3(a+c)}b=-2-3=-5.$$

(2 Фев '18 21:13) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: это не все значения. Возможен ещё случай a+b+c=0, когда свойство дробей неприменимо. Если его рассмотреть отдельно, то будет -5, а у Вас в примере должно быть 10.

(2 Фев '18 21:23) falcao

@falcao: Спасибо, подправил.

(2 Фев '18 21:36) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
2 Фев '18 18:46

показан
282 раза

обновлен
2 Фев '18 21:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru