Дан ряд $$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{|\cos 2^n|}{n}. $$ Необходимо исследовать его сходимость.

Легко заметить, что если $%|\cos 2^n| \leq 1/2$%, то $%|\cos 2^{n+1}| = |2\cos^2 2^n - 1| \geq 1/2$% и если $%|\cos 2^n| > 1/2$%, то $%|\cos 2^n| \in [0,1]$%. И дальше рассуждения ясны (для применения признака сравнения). Если косинус больше $%1/2$%, то этот член ряда оставляем и подпираем сумму нашу снизу "гармоническим" членом, а если меньше, то пропускаем. Но как это сформулировать строго, написав оценку снизу расходящимся рядом? Можно ли утверждать, что $%S_{2n} > \frac{1}{2}(1 + 1/3 + ... + 1/(2n - 1))$%?

задан 2 Фев '18 19:01

Из двух соседних членов ряда хотя бы один непременно обладает свойством |cos(2^n)|>=1/2. Разбиваем члены на пары. В каждой паре берём тот член, который обладает указанным свойством. Остальные члены неотрицательны. Тогда S_{2k}>=1/4(1+1/2+...+1/k). Для оценки берутся наименьшие по величине члены пар, то есть с чётными номерами.

(2 Фев '18 20:37) falcao

@falcao, действительно! Что-то меня переклинило. Прошу прощения за глупость

(4 Фев '18 20:21) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×758

задан
2 Фев '18 19:01

показан
226 раз

обновлен
4 Фев '18 20:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru