Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных квадратов натуральных чисел отличаться ровно в 5 раз?

задан 3 Фев '18 2:16

10|600 символов нужно символов осталось
2

Да, существует. Число 5 здесь интересно тем, что такое отношение произведений встречается сравнительно поздно (по сравнению с другими "малыми" значениями), хотя и не очень далеко.

Конкретный пример: $%250^2=62500$%; произведение $%60$%.

Соседнее число: $%249^2=(250-1)^2=62500-500+1=62001$%; произведение $%12$%, то есть отличается ровно в 5 раз.

Правда, этот пример не самый первый -- есть ещё $%236^2=55696$% и $%237^2=56169$%, но рассмотренная выше пара проще для проверки. Здесь у меньшего из чисел произведение будет больше в 5 раз.

Сравнительно редко попадается также отношение 7, но оно расположено ближе.

Следующим примером, дающим отношение 5, будет пара чисел $%649$% и $%650$%. Тут у большего из двух чисел произведение в 5 раз больше. Для $%789^2=622521$% и$%790^2=624100$% всё наоборот. Таким же свойством обладают $%919^2=844561$% и $%920^2=846400$%. Вообще, таких примеров достаточно много.

Среди чисел первой тысячи "рекордное" увеличение/уменьшение в целое число раз равно 648. Понятно, что не могут получаться числа, у которых есть простые делители помимо 2, 3, 5, 7. Из возможных значений, которые не встречаются, можно отметить отношения, равные 30 и 35. Но далее встречаются и они, а в пределах до $%10^4$% вообще все "допустимые" отношения, меньше 100, появляются, хотя некоторые из них "уникальны".

ссылка

отвечен 3 Фев '18 12:47

1

@falcao, а как такие задачи решать без применения компа?...

(3 Фев '18 12:58) all_exist
1

@all_exist: я использовал Maple, но пример с числами 249 и 250 можно и найти, и проверить устно. Сам по себе случай отношения 5 интересен тем, что он встречается в натуральном ряду достаточно поздно, в то время как числа 1, 2, 3, 4, 6 получаются где-то вскоре. Но это не значит, что для нахождения примера надо перебирать всё подряд.

(3 Фев '18 13:31) falcao
1

Но это не значит, что для нахождения примера надо перебирать всё подряд. - то есть такую задачу можно увидеть на олимпиаде?...

(3 Фев '18 15:29) all_exist
1

@all_exist: насчёт олимпиады -- не знаю. Тут всё зависит от составителей. Данная задача сама по себе интересна (на мой вкус), но её решение состоит из предъявления ответа, где все свойства легко проверить. Поэтому один может у другого списать, и не удастся никак "уличить". Скажем, бывают задачи такого типа, где надо неким образом заполнить таблицу. Там проще, потому что решений обычно много (хотя бы с точностью до симметрии), и вероятность совпадения ответов при отсутствии списывания очень невелика.

(3 Фев '18 15:55) falcao

@falcao, большое спасибо!

(3 Фев '18 16:08) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×128
×82
×14
×11

задан
3 Фев '18 2:16

показан
469 раз

обновлен
3 Фев '18 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru