Была поставлена довольно интересная задача:

Пусть $%f_n,f\in X^\ast$% и $%f_n\to f$% *-слабо в $%X$%. Это означает, что $%\forall x\in X ~\langle f_n,x\rangle \to \langle f,x \rangle.$% Верно ли, что $%f$% принадлежит замыканию линейной оболочки, натянутой на элементы $%f_n$%

Если X - рефлексивное пространство, то здесь доказывается довольно просто, поскольку в силу рефлексивности $%\forall x^{\ast\ast}\in X^{\ast\ast}~ \exists x\in X: ~\langle x^{\ast\ast},x^\ast\rangle=\langle x^\ast,x\rangle ~\forall x^\ast\in X^\ast$%.

Тогда, если предополжить, что утверждение неверно, в силу следствия из теоремы Хана-Банаха существует функционал $%x_0^{\ast\ast}\in X^{\ast\ast}$%, такой, что он обращается в нуль на линейной оболочке, а $%\langle x_0^{\ast\ast},f\rangle = 1$%.

Мы получаем, что $%0=\langle x_0^{\ast\ast},f_n\rangle\to\langle x_0^{\ast\ast},f\rangle=1$%. Но, в силу рефлексивности, это означает, что $%0 = \langle f_n,x_0\rangle \to \langle f,x_0\rangle=1$%, что противоречит условию *-слабой сходимости.

Вся проблема возникает в случае нерефлексивного пространства. У меня такое предположение, что в этом случае утверждение может быть неверно. У меня была идея взять $%L_\infty(0,1)$% и $%\langle f_n, x\rangle = \underset{{[0,1-\frac {1}{n+1}}]}{\mathrm{ess~sup}} x(t)$%. Тогда, очевидно, что $%\langle f,x\rangle=\underset{[0,1]}{\mathrm{ess~sup}} x(t)$%.

Однако, возникает вопрос по поводу принадлежности последнего функционала замыканию линейной оболочки. Просьба помочь разобраться в этом деле.

задан 22 Мар '13 17:32

изменен 22 Мар '13 17:40

10|600 символов нужно символов осталось
3

Тут вроде бы можно построить пример для $%X=C[0,1]$%. По теореме Риса, пространство $%X^*$% может быть отождествлено с пространством функций ограниченной вариации на $%[0,1]$%, где значение вычисляется как интеграл Стилтьеса: $$x\mapsto \int\limits_0^1x(t)\,dF(t).$$ Фактически, можно говорить о пространстве мер на отрезке. Тогда можно в качестве $%f_n$% взять вероятностную меру, сосредоточенную на $%[1-1/n,n]$%. Для любой непрерывной функции $%x(t)$% значения $%\langle f_n,x\rangle$% будут стремиться к $%x(1)$%, то есть к $%\langle f,x\rangle$%, где $%f$% есть функционал, сопоставляющий $%x$% её значение в единице. Здесь вся мера сконцентрирована на правом конце.

При этом $%f$% не будет принадлежать замыканию линейной оболочки $%f_n$%, так как можно задать функцию $%\lambda$% по правилу $%\lambda(\mu)=\mu(\{1\})$%: каждой мере сопоставляется её значение на одноточечном множестве. Ясно, что на каждом $%f_n$% значение $%\lambda$% равно нулю, в то время как на $%f$% оно равно единице.

ссылка

отвечен 22 Мар '13 19:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×536
×142

задан
22 Мар '13 17:32

показан
1207 раз

обновлен
22 Мар '13 19:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru