Найти минимальное значение выражения $%(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab})$%.

задан 3 Фев '18 22:03

изменен 3 Фев '18 22:03

2

$$\left(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\right)\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)=\frac{(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}{a^2b^2c^2}\ge$$ $$\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2a^2c^2b^2c^2}3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^2b^2c^2}=9.$$

(3 Фев '18 22:16) EdwardTurJ

@goldish09: Спасибо, подправил.

(3 Фев '18 22:36) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
3

Числа здесь отличны от нуля. Если поменять знак одного из них, то все 6 дробей в записи выражения изменят знак, а само выражение останется без изменений. Поэтому будем без ограничения общности считать, что все наши числа положительны.

Раскрывая скобки, получим три единицы, когда число умножается на обратное, а также три пары сумм из двух взаимно обратных чисел типа a^2/c^2+c^2/a^2. Каждая из таких сумм не меньше 2 в силу неравенства о среднем. Вместо это даёт не меньше 3+2+2+2=9. Равенство достигается, если все числа равны между собой.

ссылка

отвечен 3 Фев '18 22:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×98

задан
3 Фев '18 22:03

показан
319 раз

обновлен
3 Фев '18 22:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru